Ritratto di fase oscillatore armonico fortemente smorzato
Salve a tutti! 
Ho delle difficoltà nel ricostruire gli appunti riguardo il ritratto di fase dell'oscillatore armonico smorzato linearmente nel caso di smorzamento forte, in particolare nel trovare l'espressione analitica per le orbite.
Cercherò di essere il più chiaro possibile nell'esposizione del problema.
Date le espressioni :
\[\tag{1} \begin{cases}
x(t)=\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1} \text{e}^{-q_1t}-\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t} \\
\dot x(t)=-q_1\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_1t}+q_2\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t}\
\end{cases}\]
con \(q_2>q_1>0\) e \(x_0=x(0) \in \mathbb{R},v_0=\dot x(0) \in \mathbb{R}\),
devo rappresentare in un piano \((x,\dot x)\) la famiglia di curve (orbite) parametriche descritte da \(x(t)\) e \(\dot x(t)\) (per \(t\in[0,\infty)\)) ottenuta al variare punto di partenza \((x_0,v_0)\) (spero di essermi spiegato...
).
La prima cosa da notare è che, indipendentemente dal punto di partenza \((x_0,v_0)\), ogni orbita per \(t \rightarrow\infty\) tende al punto \((0,0)\).
La seconda è che esistono 2 casi particolarmente semplici da trattare:
\[\tag{2}v_0+q_2x_0=0 \Rightarrow \begin{cases}
x(t)=-\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t} \\
\dot x(t)=q_2\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t}\
\end{cases}\]
\[\tag{3}v_0+q_1x_0=0 \Rightarrow \begin{cases}
x(t)=\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1} \text{e}^{-q_1t} \\
\dot x(t)=-q_1\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_1t}
\end{cases}\]
le orbite in questione sono delle rette in quanto il rapporto \(\dot x /x\) è costante \(\forall t\).
Tali rette in forma canonica hanno le seguenti espressioni:
\[\tag{2} \dot x= -q_2x\]
\[\tag{3} \dot x= -q_1x\]
Riassumendo quanto detto fino ad ora, da un punto di vista qualitativo la situazione dovrebbe essere la seguente:
Le 2 rette suddividono il piano in 4 regioni distinte.
Ora, per il teorema di esistenza e unicità di Cauchy, per ogni punto del piano deve passare una sola orbita quindi ogni orbita restante sarà interamente contenuta in una singola regione (determinata dal punto \((x_0,v_0)\)).
Un'altra considerazione da fare è che per i punti \((x,0)\) si ha \(x(t)\) costante, quindi le curve che attraverseranno l'asse \(x\) lo faranno ortogonalmente.
A questo punto per me arrivano i problemi: non riesco a interpretare i seguenti risultati.
Con qualche passaggio si può dalle \((1)\) arrivare alle seguenti relazioni:
\[\begin{cases}\frac{\dot x +q_1 x}{v_0+q_1}=\text{e}^{-q_2 t} \\
\frac{\dot x +q_2 x}{v_0 +q_2 x_0}=\text{e}^{-q_1 t} \end{cases}\]
Si effettua un cambio di variabili:
\[\begin{cases}y=\dot x +q_1 x \\
u=\dot x +q_2 x \end{cases}\]
\[\begin{cases}y_0=v_0 +q_1 x_0 \\
u_0=v_0 +q_2 x_0 \end{cases}\]
e si arriva alle seguenti relazioni :
\[\begin{cases}\left(\frac{y}{y_0}\right)^{q_1}=\text{e}^{-q_1q_2t} \\
\left(\frac{u}{u_0}\right)^{q_2}=\text{e}^{-q_1q_2t} \end{cases}\]
da cui si conclude:
\[\tag{4}\begin{cases}y=y_0\left(\frac{u}{u_0}\right)^{\frac{q_2}{q_1}} \\
\dot y=\frac{y_0 q_2}{q_1}\left(\frac{u}{u_0}\right)^{\frac{q_2}{q_1}-1} \end{cases}\]
Io non ho idea di cosa rappresentino nel piano \((x,\dot x)\) le \((4)\) o di come si possano usare per trarre conclusioni logiche.
Non sono neanche il perché sia necessario esprimere \(\dot y \).
L'unica considerazione che sono in grado di fare è che \(y=y(u)\) ha un andamento parabolico in quanto il termine \(\frac{q_2}{q_1}\) è strettamente maggiore di 1.
Spero di non aver sparato degli sfondoni stratosferici...
Ho delle difficoltà nel ricostruire gli appunti riguardo il ritratto di fase dell'oscillatore armonico smorzato linearmente nel caso di smorzamento forte, in particolare nel trovare l'espressione analitica per le orbite.
Cercherò di essere il più chiaro possibile nell'esposizione del problema.
Date le espressioni :
\[\tag{1} \begin{cases}
x(t)=\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1} \text{e}^{-q_1t}-\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t} \\
\dot x(t)=-q_1\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_1t}+q_2\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t}\
\end{cases}\]
con \(q_2>q_1>0\) e \(x_0=x(0) \in \mathbb{R},v_0=\dot x(0) \in \mathbb{R}\),
devo rappresentare in un piano \((x,\dot x)\) la famiglia di curve (orbite) parametriche descritte da \(x(t)\) e \(\dot x(t)\) (per \(t\in[0,\infty)\)) ottenuta al variare punto di partenza \((x_0,v_0)\) (spero di essermi spiegato...
).La prima cosa da notare è che, indipendentemente dal punto di partenza \((x_0,v_0)\), ogni orbita per \(t \rightarrow\infty\) tende al punto \((0,0)\).
La seconda è che esistono 2 casi particolarmente semplici da trattare:
\[\tag{2}v_0+q_2x_0=0 \Rightarrow \begin{cases}
x(t)=-\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t} \\
\dot x(t)=q_2\frac{v_0+q_1x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_2t}\
\end{cases}\]
\[\tag{3}v_0+q_1x_0=0 \Rightarrow \begin{cases}
x(t)=\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1} \text{e}^{-q_1t} \\
\dot x(t)=-q_1\frac{v_0+q_2x_0}{q_2-q_1}\text{e}^{-q_1t}
\end{cases}\]
le orbite in questione sono delle rette in quanto il rapporto \(\dot x /x\) è costante \(\forall t\).
Tali rette in forma canonica hanno le seguenti espressioni:
\[\tag{2} \dot x= -q_2x\]
\[\tag{3} \dot x= -q_1x\]
Riassumendo quanto detto fino ad ora, da un punto di vista qualitativo la situazione dovrebbe essere la seguente:
Le 2 rette suddividono il piano in 4 regioni distinte.
Ora, per il teorema di esistenza e unicità di Cauchy, per ogni punto del piano deve passare una sola orbita quindi ogni orbita restante sarà interamente contenuta in una singola regione (determinata dal punto \((x_0,v_0)\)).
Un'altra considerazione da fare è che per i punti \((x,0)\) si ha \(x(t)\) costante, quindi le curve che attraverseranno l'asse \(x\) lo faranno ortogonalmente.
A questo punto per me arrivano i problemi: non riesco a interpretare i seguenti risultati.
Con qualche passaggio si può dalle \((1)\) arrivare alle seguenti relazioni:
\[\begin{cases}\frac{\dot x +q_1 x}{v_0+q_1}=\text{e}^{-q_2 t} \\
\frac{\dot x +q_2 x}{v_0 +q_2 x_0}=\text{e}^{-q_1 t} \end{cases}\]
Si effettua un cambio di variabili:
\[\begin{cases}y=\dot x +q_1 x \\
u=\dot x +q_2 x \end{cases}\]
\[\begin{cases}y_0=v_0 +q_1 x_0 \\
u_0=v_0 +q_2 x_0 \end{cases}\]
e si arriva alle seguenti relazioni :
\[\begin{cases}\left(\frac{y}{y_0}\right)^{q_1}=\text{e}^{-q_1q_2t} \\
\left(\frac{u}{u_0}\right)^{q_2}=\text{e}^{-q_1q_2t} \end{cases}\]
da cui si conclude:
\[\tag{4}\begin{cases}y=y_0\left(\frac{u}{u_0}\right)^{\frac{q_2}{q_1}} \\
\dot y=\frac{y_0 q_2}{q_1}\left(\frac{u}{u_0}\right)^{\frac{q_2}{q_1}-1} \end{cases}\]
Io non ho idea di cosa rappresentino nel piano \((x,\dot x)\) le \((4)\) o di come si possano usare per trarre conclusioni logiche.
Non sono neanche il perché sia necessario esprimere \(\dot y \).
L'unica considerazione che sono in grado di fare è che \(y=y(u)\) ha un andamento parabolico in quanto il termine \(\frac{q_2}{q_1}\) è strettamente maggiore di 1.
Spero di non aver sparato degli sfondoni stratosferici...
Risposte
Credo di essere riuscito a fare un passo in avanti e concludere, supponendo corrette le prossime considerazioni.
Il passaggio dalle variabili \((x,\dot x)\) alle variabili \((y,u)\) è dato dall'applicazione di un operatore lineare \(\bf{T}\) definito come:
\[\textbf{T}=\begin{bmatrix} q_1 & 1 \\ q_2 & 1 \end{bmatrix}\]
In notazione matriciale possiamo esprimere il cambio di variabili come:
\[\begin{bmatrix} q_1 & 1 \\ q_2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ \dot x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y \\ u \end{bmatrix}\]
\(\bf{T}\) è lineare quindi, sostanzialmente, le curve descritte nel piano \((y, u)\) avranno "la stessa forma" di quelle descritte nel piano \((x, \dot x)\), nel senso che la trasformazione comporterà solo delle dilatazioni e delle rotazioni (\(\bf{T}\) non è ortogonale).
Come già visto, nel piano \((y, u)\) si descrive o un ramo o due rami parabolici (a seconda che sia definita o no \(y=y(u)\) per \(u<0\) ) la cui "forma" è determinata dai parametri \(q_{1,2}\), \(x_0\), \(v_0\).
In base a quanto appena detto dovrebbe valere lo stesso nel piano \((x, \dot x)\), a meno di una dilatazione/contrazione e una rotazione.
A questo punto, conciliando tutte le precedenti considerazioni, cioè:
1. Per \(t \rightarrow \infty\) si tende al punto \((0,0)\) (stabilisce il verso di percorrenza delle orbite)
2. 2 orbite corrispondono alle rette \(\dot x = -q_1 x\), \(\dot x = -q_2 x\)
3. Le orbite non posso intersecarsi tra loro
4. Le orbite attraversano ortogonalmente l'asse x
con quelle appena trovate, dovrebbe essere possibile tracciare qualitativamente il ritratto di fase in tutto il piano delle fasi (sempre si siano fissati i parametri \(q_{1,2}\)).
Le domande si riducono quindi alle seguenti.
Quante boiate ho sparato?
A cosa serve conoscere l'espressione di \(\dot y\)?
Il passaggio dalle variabili \((x,\dot x)\) alle variabili \((y,u)\) è dato dall'applicazione di un operatore lineare \(\bf{T}\) definito come:
\[\textbf{T}=\begin{bmatrix} q_1 & 1 \\ q_2 & 1 \end{bmatrix}\]
In notazione matriciale possiamo esprimere il cambio di variabili come:
\[\begin{bmatrix} q_1 & 1 \\ q_2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ \dot x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y \\ u \end{bmatrix}\]
\(\bf{T}\) è lineare quindi, sostanzialmente, le curve descritte nel piano \((y, u)\) avranno "la stessa forma" di quelle descritte nel piano \((x, \dot x)\), nel senso che la trasformazione comporterà solo delle dilatazioni e delle rotazioni (\(\bf{T}\) non è ortogonale).
Come già visto, nel piano \((y, u)\) si descrive o un ramo o due rami parabolici (a seconda che sia definita o no \(y=y(u)\) per \(u<0\) ) la cui "forma" è determinata dai parametri \(q_{1,2}\), \(x_0\), \(v_0\).
In base a quanto appena detto dovrebbe valere lo stesso nel piano \((x, \dot x)\), a meno di una dilatazione/contrazione e una rotazione.
A questo punto, conciliando tutte le precedenti considerazioni, cioè:
1. Per \(t \rightarrow \infty\) si tende al punto \((0,0)\) (stabilisce il verso di percorrenza delle orbite)
2. 2 orbite corrispondono alle rette \(\dot x = -q_1 x\), \(\dot x = -q_2 x\)
3. Le orbite non posso intersecarsi tra loro
4. Le orbite attraversano ortogonalmente l'asse x
con quelle appena trovate, dovrebbe essere possibile tracciare qualitativamente il ritratto di fase in tutto il piano delle fasi (sempre si siano fissati i parametri \(q_{1,2}\)).
Le domande si riducono quindi alle seguenti.
Quante boiate ho sparato?
A cosa serve conoscere l'espressione di \(\dot y\)?
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