Ritornando su una vecchia dimostrazione: la completezza di $l^(oo) (RR)$

[mklplo751]

Salve, oggi, dopo un po', volevo ritornare su una vecchia dimostrazione in cui non riuscii perchè era ancora troppo prematuro. Ora ero curioso di vedere se effettivamente ci fossi riuscito, o se ancora ci sono degli errori. La dimostrazione è che $l^(oo) (RR)$ dotato della metrica $d({x_n}, {y_n})=s up_(n \in NN) |x_n-y_n|$ è uno spazio metrico completo. La dimostrazione l'ho divisa in 2 parti:
(1) $(l^(oo) (RR), d)$ è uno spazio metrico.

Dobbiamo dimostrare che $d$ è una distanza. Le proprietà di simmetria e di essere definta positiva discendono immediatamente dalle proprietà del valore assoluto e di estremo superiore. Ci resta da dimostrare la disuguaglianza triangolare. Per fare ciò notiamo che $\forall \epsilon >0 \exists N \in NN: s up_n |x_n-z_n|< \epsilon + |x_N-z_N| \leq \epsilon + |x_N-y_N|+ |y_N-z_N| \leq \epsilon + s up_n |x_n-y_n| +s up_n |y_n-z_n| $.
Dall'arbitrarietà di $\epsilon$ segue la tesi (la prima maggiorazione ha senso dato che le successioni sono limitate).

(2) $l^(oo)$ è completo

Sia $a:n \in NN->a^n \in l^(oo)(RR)$ di Cauchy. Dimostriamo che converge a una successione limitata a valori reali. Poichè è di Cauchy $\forall \epsilon>0 \exists N\in NN: s up_m|a_m^i-a_m^j|< \epsilon \forall i,j \geq N$. Da ciò segue che la successione a valori reali $(a_m^l)_(l \in NN)$ è di Cauchy $\forall m \in NN$ e dunque per la completezza di $RR$ converge a una certo valore $b_m$. Dimostriamo che la successione $(b_m)_(m \in NN)$ è limitata e che la succesione $a$ converge a $b_m$. Notiamo che $s up_m |b_m| \leq s up_m |b_m-a_m^l|+s up_m |a_m^l|$. Per le proprietà di estremo superiore fissato $ \delta >0 \exists N\in NN: s up_m |b_m-a_m^l|< \delta+|b_N-a_N^l|$, invece per per come abbiamo definito la successione $b_m$ segue che fissato $\epsilon>0 \exists R \in NN: |b_N-a_N^k|<\epsilon \forall k\geq R$, e quindi prendo $\epsilon_1= max{|b_N-a_N^1|,...,|b_N-a_N^R|, \epsilon}$, infine sapendo che le successioni $a^n$ sono limitate, sappiamo che fissato $n \in NN$ $\exists M>0: |a_m^n|

Se non vi reca disturbo, potreste controllare la dimostrazione?
p.s: in realtà l'esercizio Manetti 6.15. richiederebbe di dimostrare anche che non è separabile, ma ci sto ancora pensando.

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Risposte

otta96

14 ago 2021, 12:24

Mi sembra che vada bene.

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mklplo751

14 ago 2021, 12:24

Grazie per aver controllato e risposto.

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[otta96]

Mi sembra che vada bene.

[mklplo751]

Grazie per aver controllato e risposto.