Risultato svolgimento di Taylor
Salve a tutti ho fatto questo esercizio:
$lim_(x->0) (cosh^2x-1-x^2)/x^4 $
$lim_(x->0) ((1+x^2/2)^2-1-x^2)/x^4 $
$lim_(x->0) ((1+x^4/4 +x^2)-1-x^2)/x^4 $
$lim_(x->0) x^4/4*1/x^4 = 1/4$
ho tralasciato gli o piccoli per semplificare e rendere più leggibile i passaggi...sul libro però il risultato è 1/3...io credo di aver fatto bene...è un errore mio o è sbagliato il risultato sul libro?
$lim_(x->0) (cosh^2x-1-x^2)/x^4 $
$lim_(x->0) ((1+x^2/2)^2-1-x^2)/x^4 $
$lim_(x->0) ((1+x^4/4 +x^2)-1-x^2)/x^4 $
$lim_(x->0) x^4/4*1/x^4 = 1/4$
ho tralasciato gli o piccoli per semplificare e rendere più leggibile i passaggi...sul libro però il risultato è 1/3...io credo di aver fatto bene...è un errore mio o è sbagliato il risultato sul libro?
Risposte
Il problema è che ti mancano dei termini di grado [tex]$4$[/tex]...
Per essere precisi, dovresti usare l'approssimazione [tex]$\cosh x \approx 1+\frac{1}{2} \ x^2 +\frac{1}{24} \ x^4$[/tex] al posto di [tex]$\cosh x \approx 1+\frac{1}{2} \ x^2$[/tex].
Detto in maniera bruta, l'ultima approssimazione non ti può bastare perchè, dovendola elevare al quadrato, ti macherebbero quei termini in [tex]$x^4$[/tex] che vengono fuori dal doppio prodotto di [tex]$\frac{1}{24} \ x^4$[/tex] con [tex]$1$[/tex].
Per essere precisi, dovresti usare l'approssimazione [tex]$\cosh x \approx 1+\frac{1}{2} \ x^2 +\frac{1}{24} \ x^4$[/tex] al posto di [tex]$\cosh x \approx 1+\frac{1}{2} \ x^2$[/tex].
Detto in maniera bruta, l'ultima approssimazione non ti può bastare perchè, dovendola elevare al quadrato, ti macherebbero quei termini in [tex]$x^4$[/tex] che vengono fuori dal doppio prodotto di [tex]$\frac{1}{24} \ x^4$[/tex] con [tex]$1$[/tex].
Non ho capito...perchè $1+x^2/2$ non basta? Si annullano $-1 -x^2$ e $x^4$ si semplifica e rimane $1/4$... perchè c'è bisogno anche di $1/12 x^4$ visto che si semplifica già tutto?:-k
Guarda:
[tex]$\left( 1+\frac{1}{2} \ x^2 +\text{o}(x^2)\right)^2 =1+x^2+\frac{1}{4} \ x^4 +\text{o}(x^4)$[/tex]
mentre:
[tex]$\left( 1+\frac{1}{2} \ x^2 + \frac{1}{24} \ x^4+\text{o}(x^4)\right)^2 =1+x^2+\frac{1}{4} \ x^4 +\frac{1}{12} \ x^4 +\text{o}(x^4) = 1+x^2 +\frac{1}{3} \ x^4+\text{o}(x^4)$[/tex].
E si vede facilmente che il polinomio di Taylor centrato in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$4$[/tex] di [tex]$\cosh^2 x$[/tex] è quello dato dalla seconda espressione: infatti:
[tex]$\cosh^2 x\Big|_{x=0} =1$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^\prime \Big|_{x=0} =\sinh 2x \Big|_{x=0} =0$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime}\Big|_{x=0} =2\cosh 2x \Big|_{x=0} =2$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime \prime }\Big|_{x=0} =4\sinh 2x \Big|_{x=0} =0$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime \prime \prime}\Big|_{x=0} =8\cosh 2x \Big|_{x=0} =8$[/tex]
e perciò:
[tex]$\cosh^2 x =1+\frac{2}{2!} \x^2+\frac{8}{4!} \ x^4+\text{o} (x^4)=1+x^2+\frac{1}{3} \ x^4 +\text{o} (x^4)$[/tex].
Il succo del discorso: è importante che qualcosa si semplifichi, ma devi stare sempre attento che i polinomi di Taylor cui pervieni siano quelli esatti.
[tex]$\left( 1+\frac{1}{2} \ x^2 +\text{o}(x^2)\right)^2 =1+x^2+\frac{1}{4} \ x^4 +\text{o}(x^4)$[/tex]
mentre:
[tex]$\left( 1+\frac{1}{2} \ x^2 + \frac{1}{24} \ x^4+\text{o}(x^4)\right)^2 =1+x^2+\frac{1}{4} \ x^4 +\frac{1}{12} \ x^4 +\text{o}(x^4) = 1+x^2 +\frac{1}{3} \ x^4+\text{o}(x^4)$[/tex].
E si vede facilmente che il polinomio di Taylor centrato in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$4$[/tex] di [tex]$\cosh^2 x$[/tex] è quello dato dalla seconda espressione: infatti:
[tex]$\cosh^2 x\Big|_{x=0} =1$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^\prime \Big|_{x=0} =\sinh 2x \Big|_{x=0} =0$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime}\Big|_{x=0} =2\cosh 2x \Big|_{x=0} =2$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime \prime }\Big|_{x=0} =4\sinh 2x \Big|_{x=0} =0$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime \prime \prime}\Big|_{x=0} =8\cosh 2x \Big|_{x=0} =8$[/tex]
e perciò:
[tex]$\cosh^2 x =1+\frac{2}{2!} \x^2+\frac{8}{4!} \ x^4+\text{o} (x^4)=1+x^2+\frac{1}{3} \ x^4 +\text{o} (x^4)$[/tex].
Il succo del discorso: è importante che qualcosa si semplifichi, ma devi stare sempre attento che i polinomi di Taylor cui pervieni siano quelli esatti.
Ah si ora ho capito...grazie mille per il tuo aiuto gugo 
"gugo82":
Guarda:
[tex]$\left( 1+\frac{1}{2} \ x^2 +\text{o}(x^2)\right)^2 =1+x^2+\frac{1}{4} \ x^4 +\text{o}(x^4)$[/tex]
mentre:
[tex]$\left( 1+\frac{1}{2} \ x^2 + \frac{1}{24} \ x^4+\text{o}(x^4)\right)^2 =1+x^2+\frac{1}{4} \ x^4 +\frac{1}{12} \ x^4 +\text{o}(x^4) = 1+x^2 +\frac{1}{3} \ x^4+\text{o}(x^4)$[/tex].
E si vede facilmente che il polinomio di Taylor centrato in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$4$[/tex] di [tex]$\cosh^2 x$[/tex] è quello dato dalla seconda espressione: infatti:
[tex]$\cosh^2 x\Big|_{x=0} =1$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^\prime \Big|_{x=0} =\sinh 2x \Big|_{x=0} =0$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime}\Big|_{x=0} =2\cosh 2x \Big|_{x=0} =2$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime \prime }\Big|_{x=0} =4\sinh 2x \Big|_{x=0} =0$[/tex]
[tex]$(\cosh^2 x)^{\prime \prime \prime \prime}\Big|_{x=0} =8\cosh 2x \Big|_{x=0} =8$[/tex]
e perciò:
[tex]$\cosh^2 x =1+\frac{2}{2!} \x^2+\frac{8}{4!} \ x^4+\text{o} (x^4)=1+x^2+\frac{1}{3} \ x^4 +\text{o} (x^4)$[/tex].
Il succo del discorso: è importante che qualcosa si semplifichi, ma devi stare sempre attento che i polinomi di Taylor cui pervieni siano quelli esatti.
Ciao Gugo, mi è venuto un dubbio su quanto hai scritto, in particolare sull'uguaglianza
[tex]$\left( 1+\frac{1}{2} \ x^2 +\text{o}(x^2)\right)^2 =1+x^2+\frac{1}{4} \ x^4 +\text{o}(x^4)$[/tex].
Mi spiego: svolgendo il quadrato del trinomio, dai vari doppi prodotti rusulta un $o(x^2)$ che quindi rende trascurabili tutti i termini aventi grado maggiore di 2 facendo si che il risultato finale sia $1+x^2+o(x^2)$. Sostituendo nel limite, a numeratore si semplifica tutto e ciò rende necessaria un'approssimazione più raffinata del termine $cosh^2x$.
Sbaglio ?
Sisi, Relegal hai ragione, mi sono lasciato trasportare.
D'altra parte è proprio per il fatto che da quel quadrato esca fuori un [tex]$\text{o} (x^2)$[/tex] (e non un [tex]$\text{o} (x^4)$[/tex] come sperato) che quell'approssimazione è del tutto inutilizzabile.
Grazie per averlo fatto notare.
D'altra parte è proprio per il fatto che da quel quadrato esca fuori un [tex]$\text{o} (x^2)$[/tex] (e non un [tex]$\text{o} (x^4)$[/tex] come sperato) che quell'approssimazione è del tutto inutilizzabile.
Grazie per averlo fatto notare.
"gugo82":
Sisi, Relegal hai ragione, mi sono lasciato trasportare.
D'altra parte è proprio per il fatto che da quel quadrato esca fuori un [tex]$\text{o} (x^2)$[/tex] (e non un [tex]$\text{o} (x^4)$[/tex] come sperato) che quell'approssimazione è del tutto inutilizzabile.
Grazie per averlo fatto notare.
Ci mancherebbe
!Al tempo stesso mi è servito a ripassare un poco questi sviluppi sui quali, specie se si è di fretta, è un attimo confondersi !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo