Risultato integrazione
In un esercizio in cui bisogna risolvere l'integrale
$\int x\ln |x^2-2|dx$ ho integrato per parti ponendo:
$f(x)=\ln |x^2-2|$ e $g'(x)dx=xdx$ che sono rispettivamente il fattore finito e quello differenziale. Dunque, applicando tale metodo d'integrazione arrivo a:
$\frac{1}{2}x^2\ln |x^2-2|-\int \frac{x}{x^2-2}dx$ Visto che $D(x^2-2)=2x$ posso riscrivere tutto come:
$\frac{1}{2}x^2\ln |x^2-2|-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2-2}dx=\frac{1}{2}x^2\ln |x^2-2|-\frac{1}{2}\ln (x^2-2)+c$
...solamente che al mio prof viene:
$\frac{1}{2}(x^2-2)[\ln |x^2-2|-1]+c$ ; eppure il mio procedimento mi pare corretto
$\int x\ln |x^2-2|dx$ ho integrato per parti ponendo:
$f(x)=\ln |x^2-2|$ e $g'(x)dx=xdx$ che sono rispettivamente il fattore finito e quello differenziale. Dunque, applicando tale metodo d'integrazione arrivo a:
$\frac{1}{2}x^2\ln |x^2-2|-\int \frac{x}{x^2-2}dx$ Visto che $D(x^2-2)=2x$ posso riscrivere tutto come:
$\frac{1}{2}x^2\ln |x^2-2|-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2-2}dx=\frac{1}{2}x^2\ln |x^2-2|-\frac{1}{2}\ln (x^2-2)+c$
...solamente che al mio prof viene:
$\frac{1}{2}(x^2-2)[\ln |x^2-2|-1]+c$ ; eppure il mio procedimento mi pare corretto
Risposte
"Orlok":
$\frac{1}{2}x^2\ln |x^2-2|-\int \frac{x}{x^2-2}dx$
Hai fatto un errore di distrazione qui: a numeratore c'è $x^3$, non $x$.
Dici dentro l'integrale?
Semmai $x^2$, no?
Semmai $x^2$, no?
No, il secondo addendo è $-int (x^2)/2 * (2x)/(x^2-2) dx$.
Ah si, ecco. Credevo di aver già fatto quella moltiplicazione 
Ok, ma $\int \frac{x^3}{x^2-2}dx$ con quale metodo converrebbe calcolarlo?
Ok, ma $\int \frac{x^3}{x^2-2}dx$ con quale metodo converrebbe calcolarlo?
Se fai la divisione tra polinomi e integri viene esattamente come il risultato del tuo prof...
Aspetta un attimino...il risultato della divisione mi viene $x$ con un resto di $2x$ è sbagliato secondo te?
No, è giusto... Infatti $x^3/(x^2-2) = x + (2x)/(x^2-2)$...
Ok. Ma non capisco in che modo uguaglia quello del prof. Il risultato che io ottengo è:
$\frac{x^2}{2}\ln |x^2-2|-\frac{1}{2}x^2-\ln (x^2-2)+c$ ma non ci vedo una significativa analogia con quello corretto
EDIT: c'era un segno sbagliato.
$\frac{x^2}{2}\ln |x^2-2|-\frac{1}{2}x^2-\ln (x^2-2)+c$ ma non ci vedo una significativa analogia con quello corretto
EDIT: c'era un segno sbagliato.
Sì, sono la stessa cosa invece, a patto di usare $ln|x^2-2|$ e non $ln(x^2-2)$ come primitiva di $(2x)/(x^2-2)$ (è una cosa che si può
fare, infatti $ln(x^2-2)$ e $ln|x^2-2|$ hanno la stessa derivata nel loro dominio (sono derivabili ovunque)).
fare, infatti $ln(x^2-2)$ e $ln|x^2-2|$ hanno la stessa derivata nel loro dominio (sono derivabili ovunque)).
Ah ok, quindi volendo la posso lasciare pure per com'è.
Se vuoi sì, l'unica cosa che cambia è il dominio... Se per esempio fosse stato un integrale definito con estremi tra $-sqrt2$ e $sqrt2$
avresti dovuto prendere $ln|x^2-2|$ come primitiva.
P.S. Il risultato del prof. è uguale a quello tuo (col modulo, si intende), però +1, ma tanto è una costante...
L'ha scritta così solo per rendere la formula più bella, niente di più.
avresti dovuto prendere $ln|x^2-2|$ come primitiva.
P.S. Il risultato del prof. è uguale a quello tuo (col modulo, si intende), però +1, ma tanto è una costante...
L'ha scritta così solo per rendere la formula più bella, niente di più.
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