Risultato integrale triplo

[salvatoresambito]

Salve a tutti, secondo voi è giusto il procedimento?
$int_a x^2+y^2 dxdydz$ $A={(x,y,z) in R^3 : sqrt(x^2+y^2)<=z<=2-(x^2+y^2)$
Uso le coordinate cilindriche :
$int_0 ^ (2pi) int_0^sqrt2 int_rho^(2-rho^2)rho^3 dzdrhodalpha$=
$int_0 ^ (2pi) int_0^sqrt2 rho^3 (2-rho^2-rho)drhodalpha$ =
$2pi[2rho^3/4 - rho^6/6- rho^5/5]_0 ^sqrt2 $=$(20-24sqrt2)/15$

[Mephlip]

Da dove viene $0\leq\rho\leq\sqrt{2}$? Il resto mi sembra giusto ma non mi torna quella limitazione, da $\rho \leq z \leq 2-\rho^2$ deve essere $\rho\leq2-\rho^2$ che porta a $0\leq\rho\leq1$.

[salvatoresambito]

"Mephlip":Da dove viene $0\leq\rho\leq\sqrt{2}$? Il resto mi sembra giusto ma non mi torna quella limitazione, da $\rho \leq z \leq 2-\rho^2$ deve essere $\rho\leq2-\rho^2$ che porta a $0\leq\rho\leq1$.

Viene da $2-rho^2>=0$ visto che $2-rho^2>=z>=rho>0$
Però facendo cosi' non ho considerato la condizione $2-rho^2>rho$, che deve essere anch'essa verificata.In conclusione $0<=rho<=1 $.

[pilloeffe]

Ciao Salvy,

Quoto Mephlip.
Se non ho fatto male i conti si ha:

$\int_A (x^2+y^2) \text{d}x\text{d}y\text{d}z = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \int_{\rho}^(2-\rho^2)\rho^3 \text{d}z\text{d}\rho \text{d}\alpha = (4\pi)/15 $

[salvatoresambito]

"pilloeffe":Ciao Salvy,

Quoto Mephlip.
Se non ho fatto male i conti si ha:

$\int_A (x^2+y^2) \text{d}x\text{d}y\text{d}z = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \int_{\rho}^(2-\rho^2)\rho^3 \text{d}z\text{d}\rho \text{d}\alpha = (4\pi)/15 $

Si ho provato a integrare per fili verticali e ottengo $4/15pi$

[Mephlip]

"Salvy":Viene da $2-rho^2>=0$ visto che $2-rho^2>=z>=rho>0$

Vero, tuttavia devi anche discutere $\rho \leq 2-\rho^2$ che ti porta alla condizione (più restrittiva) $\rho \leq 1$; quindi in conclusione hai $0\leq\rho\leq1$.

[salvatoresambito]

"Mephlip":[quote="Salvy"]Viene da $2-rho^2>=0$ visto che $2-rho^2>=z>=rho>0$

Vero, tuttavia devi anche discutere $\rho \leq 2-\rho^2$ che ti porta alla condizione (più restrittiva) $\rho \leq 1$; quindi in conclusione hai $0\leq\rho\leq1$.[/quote]
Esatto quindi in questi casi per evitare di sbagliare conviene farsi uno schema e mettere tutte le condizioni dentro?

[Mephlip]

Sì! Poi ne prendi l'intersezione come nei sistemi di disequazioni

[salvatoresambito]

"Mephlip":Sì! Poi ne prendi l'intersezione come nei sistemi di disequazioni

Grazie mille