Risultato dubbio problema di Cauchy
Ciao a tutti ,
il problema di Cauchy è : $\{(y'=(-2x)/(1+x^2)y + 1/(x(1+x^2))),(y(-1)=0):}$
E' lineare allora l'ho risolta con la formula ottenendo :
$y=e^(-int (2x)/(1+x^2)dx){int 1/(x(1+x^2)) e^((2x)/(1+x^2)dx) +c} =e^(-ln(1+x^2)){int 1/(x(1+x^2)) e^(ln(1+x^2)dx) +c} =1/(1+x^2) {int 1/x dx +c}$
$=(ln(x))/(1+x^2) + c/(1+x^2) $
Ora impongo la condizione :
$0=(ln(-1))/(2) + c/(2) ->c=-ln(-1)$
Quindi la soluzione sarebbe : $y=(ln(x))/(1+x^2) - (ln(-1))/(1+x^2)$ Possibile?
il problema di Cauchy è : $\{(y'=(-2x)/(1+x^2)y + 1/(x(1+x^2))),(y(-1)=0):}$
E' lineare allora l'ho risolta con la formula ottenendo :
$y=e^(-int (2x)/(1+x^2)dx){int 1/(x(1+x^2)) e^((2x)/(1+x^2)dx) +c} =e^(-ln(1+x^2)){int 1/(x(1+x^2)) e^(ln(1+x^2)dx) +c} =1/(1+x^2) {int 1/x dx +c}$
$=(ln(x))/(1+x^2) + c/(1+x^2) $
Ora impongo la condizione :
$0=(ln(-1))/(2) + c/(2) ->c=-ln(-1)$
Quindi la soluzione sarebbe : $y=(ln(x))/(1+x^2) - (ln(-1))/(1+x^2)$ Possibile?
Risposte
Direi di sì, ma adesso lo vediamo subito. Considera che questo tipo di verifica lo puoi fare sempre!
Supponiamo che tu voglia verificare che la tua funzione (che hai trovato) $phi(x)$ sia effettivamente l'unica soluzione massimale al problema di Cauchy di una equazione differenziale lineare,allora:
$1)$ verifica l'identità $phi'(x)=(-2x)/(1+x^2)phi(x)+1/(x*(1+x^2))$
$2)$ verifica la correttezza delle condizioni: ovvero $phi(-1)=0$.
Vogliamo in questo caso verificare che:
$phi(x)=(ln(x))/(1+x^2) - (ln(-1))/(1+x^2)$ sia la soluzione al problema di Cauchy $\{(y'(x)=(-2x)/(1+x^2)y(x) + 1/(x(1+x^2))),(y(-1)=0):}$
$1)$ $phi(x)=(ln(x)- ln(-1))/(1+x^2)=ln(-x)/(1+x^2) ->phi'(x)=(1+x^2-2 x^2 ln(-x))/(x (1+x^2)^2)$
$(1+x^2-2 x^2 ln(-x))/(x (1+x^2)^2)=(-2x)/(1+x^2)*ln(-x)/(1+x^2) +1/(x*(1+x^2))$
$(1+x^2-2 x^2 ln(-x))/(x (1+x^2)^2)=(-2x^2*ln(-x) +1+x^2)/(x*(1+x^2)^2)$
$0=0$
L'identità è dunque verificata.
$2)$ $phi(-1)=0$
$phi(-1)=ln(1)/(1+(-1)^2)=0$
Anche il punto $2$ è corretto, quindi hai fatto tutto bene !
Supponiamo che tu voglia verificare che la tua funzione (che hai trovato) $phi(x)$ sia effettivamente l'unica soluzione massimale al problema di Cauchy di una equazione differenziale lineare,allora:
$1)$ verifica l'identità $phi'(x)=(-2x)/(1+x^2)phi(x)+1/(x*(1+x^2))$
$2)$ verifica la correttezza delle condizioni: ovvero $phi(-1)=0$.
Vogliamo in questo caso verificare che:
$phi(x)=(ln(x))/(1+x^2) - (ln(-1))/(1+x^2)$ sia la soluzione al problema di Cauchy $\{(y'(x)=(-2x)/(1+x^2)y(x) + 1/(x(1+x^2))),(y(-1)=0):}$
$1)$ $phi(x)=(ln(x)- ln(-1))/(1+x^2)=ln(-x)/(1+x^2) ->phi'(x)=(1+x^2-2 x^2 ln(-x))/(x (1+x^2)^2)$
$(1+x^2-2 x^2 ln(-x))/(x (1+x^2)^2)=(-2x)/(1+x^2)*ln(-x)/(1+x^2) +1/(x*(1+x^2))$
$(1+x^2-2 x^2 ln(-x))/(x (1+x^2)^2)=(-2x^2*ln(-x) +1+x^2)/(x*(1+x^2)^2)$
$0=0$
L'identità è dunque verificata.
$2)$ $phi(-1)=0$
$phi(-1)=ln(1)/(1+(-1)^2)=0$
Anche il punto $2$ è corretto, quindi hai fatto tutto bene !
No, aspetta, il logaritmo non è definito in \(\displaystyle -1 \).
L'equazione è lineare quindi sai che l'unica soluzione massimale è globale. Perciò l'intervallo di esistenza della soluzione sarà \(\displaystyle (-\infty, 0) \) oppure \(\displaystyle (0,+\infty) \). Guardando il dato iniziale, scegli necessariamente il primo intervallo.
Successivamente osservi che \(\displaystyle \log{|x|} \) è una primitiva di \(\displaystyle \frac{1}{x} \). Poiché \(\displaystyle x < 0 \), si ha \(\displaystyle \log{|x|} = \log{(-x)} \). Ora dovrebbero quadrare le cose.
L'equazione è lineare quindi sai che l'unica soluzione massimale è globale. Perciò l'intervallo di esistenza della soluzione sarà \(\displaystyle (-\infty, 0) \) oppure \(\displaystyle (0,+\infty) \). Guardando il dato iniziale, scegli necessariamente il primo intervallo.
Successivamente osservi che \(\displaystyle \log{|x|} \) è una primitiva di \(\displaystyle \frac{1}{x} \). Poiché \(\displaystyle x < 0 \), si ha \(\displaystyle \log{|x|} = \log{(-x)} \). Ora dovrebbero quadrare le cose.
Quindi sarebbe stata giusta del tutto se avessi precedentemente specificato l'intervallo di definizione della soluzione del problema di Cauchy e in quel caso potevo scrivere come ho fatto io ??
Anche se non avessi specificato l'intervallo massimale, guardando il dato iniziale, sapevi di dover integrare per x negative, perciò come primitiva ti veniva \(\displaystyle \log{(-x)} \), che calcolata in \(\displaystyle -1 \) è \(\displaystyle \log{1}=0 \).
Scrivere \(\displaystyle \log{(-1)} \) non ha senso.
Scrivere \(\displaystyle \log{(-1)} \) non ha senso.
Dipende dal dominio del problema, se il dominio è il campo Complesso scrivere $log(-1)=ipi$ va bene, invece nel campo reale visto che il logaritmo è definito in$]0,+∞[$ la scrittura $log(-1)$ non ha senso.
Certamente, però credo che stessimo parlando di analisi reale.
Sì probabilmente.
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