Risultato di una serie
Ciao a tutti ragazzi, mi sono imbattuto nella serie di $ sum_(h = \0) h/2^h $ e non saprei come calcolarne la somma. Ho provato derivando una geometrica di ragione 0.5 ma non porta da nessuna parte (ci sono di mezzo logaritmi), forse con Fourier viene giusto?
Il risultato è 2.
Il risultato è 2.
Risposte
Ci sono molti modi di sommare la serie.
Uno è quello di vederla come imparentata con la derivata della serie $\sum x^h$.
Un altro è il seguente.
Nota che la serie è assolutamente convergente, ergo la sua somma non cambia raggruppandone i termini in maniera arbitraria.
Hai:
\[
\begin{split}
\sum_{h=1}^\infty \frac{h}{2^h} &= \frac{1}{2}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}+ \frac{1}{32}\ldots\\
&=\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{32} +\ldots \right)+ \ldots\\
&=\frac{1}{2}\ \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \frac{1}{4}\ \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \frac{1}{8}\ \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \frac{1}{16}\ \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots \right)+ \ldots\\
&= \frac{1}{2}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+\\
&\phantom{=} + \frac{1}{4}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+\\
&\phantom{=} + \frac{1}{8}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+\\
&\phantom{=} + \frac{1}{16}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+ \ldots \\
&= \sum_{h=1}^\infty \frac{1}{2^h} \cdot \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}\\
&= \left( \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h} - 1\right)\cdot \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}\\
&= 1\cdot 2\\
&= 2\; .
\end{split}
\]
Uno è quello di vederla come imparentata con la derivata della serie $\sum x^h$.
Un altro è il seguente.
Nota che la serie è assolutamente convergente, ergo la sua somma non cambia raggruppandone i termini in maniera arbitraria.
Hai:
\[
\begin{split}
\sum_{h=1}^\infty \frac{h}{2^h} &= \frac{1}{2}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}\\
&\phantom{=} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}+ \frac{1}{32}\ldots\\
&=\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{32} +\ldots \right)+ \ldots\\
&=\frac{1}{2}\ \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \frac{1}{4}\ \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{8} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \frac{1}{8}\ \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\ldots \right)\\
&\phantom{=} + \frac{1}{16}\ \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots \right)+ \ldots\\
&= \frac{1}{2}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+\\
&\phantom{=} + \frac{1}{4}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+\\
&\phantom{=} + \frac{1}{8}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+\\
&\phantom{=} + \frac{1}{16}\ \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}+ \ldots \\
&= \sum_{h=1}^\infty \frac{1}{2^h} \cdot \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}\\
&= \left( \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h} - 1\right)\cdot \sum_{h=0}^\infty \frac{1}{2^h}\\
&= 1\cdot 2\\
&= 2\; .
\end{split}
\]
È chiarissimo, non avevo pensato di raggrupparli così.
Grazie mille!
Grazie mille!
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