Risultato di Titchmarsh
Buongiorno a tutti!
La serie $ sum_(n = 1)^(oo) (sin(nt))/n $ $(1)$ (che è la serie di fuorier di una $ bar f $ ),
ha come serie derivata la serie $sum_(n=1)^(oo)cos(nt)$ $(2)$
che non è convergente per $ nt != pi/2 +kpi $ nel senso usuale.
Però la $(1)$ è la serie derivata di $ -sum_(n = 1)^(oo) (cos(nt))/n^2 $ che è uniformemente convergente perciò la $(1)$ converge nel senso dele ditribuzioni, ma le serie di distribuzioni convergenti posso essere derivate termine a termine, ciò implica la convergenza della $(2)$.
Fino a qui, dovrebbe essere esatto, come si dimostra che la somma sella $(2)$ e uguale alla derivata di $ bar f $?
sulle dispense c'è scritto "è un profondo risultato di Titchmarsh, che qui non riportiamo", non ho trovato ancora niente.
La serie $ sum_(n = 1)^(oo) (sin(nt))/n $ $(1)$ (che è la serie di fuorier di una $ bar f $ ),
ha come serie derivata la serie $sum_(n=1)^(oo)cos(nt)$ $(2)$
che non è convergente per $ nt != pi/2 +kpi $ nel senso usuale.
Però la $(1)$ è la serie derivata di $ -sum_(n = 1)^(oo) (cos(nt))/n^2 $ che è uniformemente convergente perciò la $(1)$ converge nel senso dele ditribuzioni, ma le serie di distribuzioni convergenti posso essere derivate termine a termine, ciò implica la convergenza della $(2)$.
Fino a qui, dovrebbe essere esatto, come si dimostra che la somma sella $(2)$ e uguale alla derivata di $ bar f $?
sulle dispense c'è scritto "è un profondo risultato di Titchmarsh, che qui non riportiamo", non ho trovato ancora niente.
Risposte
è legato al fatto che $ bar f$ debba essere anche il "limite distribuzionale"
riapro
riapro
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