Risultato calcolo di un limite
qualcuno puo darmi una mano su come calcolare correttamente il seguente limite:
$ lim_(x -> 0) (senx-xcosx)/(x^2*tgx) $
perchè facendolo con le equivalenze asintotiche/limiti notevoli tenendo conto che per x che tende a ZERO sia ha:
$ senx~~ x $
$ tgx~~ x $
$ 1- cosx~~ x^2/2 $
inserendo ciò nel limite ottengo come risultato 1/2...
ma mi pare che il risultato giusto sia 1/3...ottenibile forse con taylor?
e come mai cmq in questo caso le equivalenze asintotiche/limiti notevoli non portano al risultato corretto? in un caso come questo come accorgersene?
grazie!
$ lim_(x -> 0) (senx-xcosx)/(x^2*tgx) $
perchè facendolo con le equivalenze asintotiche/limiti notevoli tenendo conto che per x che tende a ZERO sia ha:
$ senx~~ x $
$ tgx~~ x $
$ 1- cosx~~ x^2/2 $
inserendo ciò nel limite ottengo come risultato 1/2...
ma mi pare che il risultato giusto sia 1/3...ottenibile forse con taylor?
e come mai cmq in questo caso le equivalenze asintotiche/limiti notevoli non portano al risultato corretto? in un caso come questo come accorgersene?
grazie!
Risposte
chiedo scusa, correggo il testo...al posto di x è senx!!
quindi verrebbe con l'equivalenze asintotiche/limiti notevoli:
$ lim_(x -> 0) (senx-xcosx)/(x^2*tgx)=(x-xcosx)/(x^2*x)=[x(1-cosx)]/x^3=(x*x^2/2)/x^3=1/2 $
mentre con taylor dovrebbe venire 1/3...
quindi verrebbe con l'equivalenze asintotiche/limiti notevoli:
$ lim_(x -> 0) (senx-xcosx)/(x^2*tgx)=(x-xcosx)/(x^2*x)=[x(1-cosx)]/x^3=(x*x^2/2)/x^3=1/2 $
mentre con taylor dovrebbe venire 1/3...
Ciao xshadow, è una cosa su cui sbaglio spesso anch'io: non sempre è possibile usare i limiti notevoli. Leggi qui:
http://www1.mat.uniroma1.it/people/dall ... tesimi.pdf
http://www1.mat.uniroma1.it/people/dall ... tesimi.pdf
grazie !!!
solo ancora un piccolo dubbio!!
quindi in presenza di somme/differenze di infinitesimi in genere è consigliabile usare gli o-piccoli?
no perche nel mio caso se avessi utilizzato le sole equivalenze asintotiche e non i limiti notevoli non mi sarebbe mai venuto il dubbio che il procedimento con le relazioni asintotiche fosse sbagliato!!
anche perchè ho ottenuto un risultato finito (1/2)...in genere mi faccio venire il dubbio che non si possano utilizzare le equivalenze asintotiche/limiti notevoli quando al numeratore (o denominatore) c'è una somma(o di solito differenza) di funzioni che dà come risultato zero,o meglio una differenza di termini infinitesimi che coincidono al primo ordine...ma in questo caso al numeratore veniva un numero diverso da zero e dunque avrei pensato che il procedimento con le equivalenza asintotiche fosse corretto
dunque in genere quando ho somme/differenze è meglio utilizzare gli o-piccoli ?
e ora mi è venuto un mega dubbio:
$ lim_(x -> 0) senx-x= $
con semplice sostituzione ottengo ZERO
con limiti notevoli/equivalenze asintotiche ottengo ZERO
MA sviluppando in serie di taylor in 0 il seno ottengo un risultato diverso da zero...
quale è giusto?
grazie ancora a tutti
!!!solo ancora un piccolo dubbio!!
quindi in presenza di somme/differenze di infinitesimi in genere è consigliabile usare gli o-piccoli?
no perche nel mio caso se avessi utilizzato le sole equivalenze asintotiche e non i limiti notevoli non mi sarebbe mai venuto il dubbio che il procedimento con le relazioni asintotiche fosse sbagliato!!
anche perchè ho ottenuto un risultato finito (1/2)...in genere mi faccio venire il dubbio che non si possano utilizzare le equivalenze asintotiche/limiti notevoli quando al numeratore (o denominatore) c'è una somma(o di solito differenza) di funzioni che dà come risultato zero,o meglio una differenza di termini infinitesimi che coincidono al primo ordine...ma in questo caso al numeratore veniva un numero diverso da zero e dunque avrei pensato che il procedimento con le equivalenza asintotiche fosse corretto
dunque in genere quando ho somme/differenze è meglio utilizzare gli o-piccoli ?
e ora mi è venuto un mega dubbio:
$ lim_(x -> 0) senx-x= $
con semplice sostituzione ottengo ZERO
con limiti notevoli/equivalenze asintotiche ottengo ZERO
MA sviluppando in serie di taylor in 0 il seno ottengo un risultato diverso da zero...
quale è giusto?
grazie ancora a tutti
"TeM":
[quote="xshadow"]
MA sviluppando in serie di taylor in 0 il seno ottengo un risultato diverso da zero...
Ecco, questa è la classica domanda a cui cadono le braccia ai prof.
Tutta la fatica di ricondursi a limiti notevoli o sviluppando in serie la si fa SOLAMENTE nei casi in cui si riscontrano delle forme indeterminate, altrimenti che motivo c'è? Nel caso citato, hai una bella funzione continua in tutto \(\mathbb{R}\), che problemi potrà presentare? In ogni modo, applicando qualsivoglia "metodo", quel limite è identicamente nullo. 
[/quote]Lo so che è una cosa scontata ma in sti giorni mi sono solo concentrato sull'applicazione delle equivalenze asintotiche/taylor e ho perso di vista questo caso banale...
Nel senso che ricordandomi che nel limite:
$ lim_(x -> 0) (senx-x)/x= $
non è corretto scrivere il numeratore come $ x-x $
dato che si avrebbe una forma indeterminata
ho pensato che non fosse neanche corretta nel limite da me citato...ma effettivamente non c'è nessun problema in quanto si risolve agilmente con semplice sostituzione
ah un ultimissima cosa: non ho ben capito cosa cambia quando scrivi nell'esempio iniziale a numeratore e denominatore o(x^3) e poi alla fine lo trasformi in (1+o(1)) sia a numeratore che denominatore....è necessaria tale trasformazione? e perche la si fa?
io avrei semplicemente lasciato gli o(x^3) e poi al limite divisi,diventando o(x^3-3) = o(1)
io avrei semplicemente lasciato gli o(x^3) e poi al limite divisi,diventando o(x^3-3) = o(1)
ok,gli darò un'occhiata domani!
se qualcosa non dovesse essermi chiaro al massimo chiederò qua
se qualcosa non dovesse essermi chiaro al massimo chiederò qua
"xshadow":
quindi in presenza di somme/differenze di infinitesimi in genere è consigliabile usare gli o-piccoli?
no perche nel mio caso se avessi utilizzato le sole equivalenze asintotiche e non i limiti notevoli non mi sarebbe mai venuto il dubbio che il procedimento con le relazioni asintotiche fosse sbagliato!!
Oltre al caso delle somme e differenze, io ero "cascata" anche in questo pericolosissimo
limite traditore, apparentemente semplice http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=141365, nel quale i limiti notevoli generano la forma di indecisione $1^oo$.'notte...
domani darà un occhiata anche a quello
buona notte anche a te!
buona notte anche a te!
intanto ho dato un'occhiata all'algebra degli o-piccolo e ho capito che sono molto utili in quanto grazie agli o-piccolo è possibile sapere se si sta operando correttamente nel calcolo del limite in questione.
Ad esempio nei vari esempi che ho visto di calcolo di limiti con taylor e o-piccolo , per capire se si aveva operato correttamente e se ci si era arrestati all'ordine giusto di sviluppo di taylor dei vari termini si guardava l'o-piccolo risultante del numeratore e quello del denominatore: se questi hanno lo stesso ordine sono semplificabili e si ottiene percio un numero privo di o-piccolo
ma ora nel caso di un limite in cui l'o-piccolo compare solo al numeratore come faccio a semplificarlo,visto che al denominatore un o-piccolo non è presente?
esempio:
$ lim_(x -> 0) (senx-x)/x^3=(x-x+x^3/6+o(x^3))/x^3=(x^3/6)/x^3=1/6 $
ad esempio in questo caso l'o-piccolo al numeratore come si fa a semplificare? visto che al denominatore non ci sta un o-piccolo?
perche negli esempi che ho visto comparivano o-piccolo sia al numeratore che al denominatore e ci si fermava nello sviluppo in modo che l-opiccolo del numeratore risultante(dopo i vari calcoli)fosse uguale (=semplificabile) all'o-piccolo che stava al denominatore!
chiedo aiuto ancora per questo dubbio ,grazie
Ad esempio nei vari esempi che ho visto di calcolo di limiti con taylor e o-piccolo , per capire se si aveva operato correttamente e se ci si era arrestati all'ordine giusto di sviluppo di taylor dei vari termini si guardava l'o-piccolo risultante del numeratore e quello del denominatore: se questi hanno lo stesso ordine sono semplificabili e si ottiene percio un numero privo di o-piccolo
ma ora nel caso di un limite in cui l'o-piccolo compare solo al numeratore come faccio a semplificarlo,visto che al denominatore un o-piccolo non è presente?
esempio:
$ lim_(x -> 0) (senx-x)/x^3=(x-x+x^3/6+o(x^3))/x^3=(x^3/6)/x^3=1/6 $
ad esempio in questo caso l'o-piccolo al numeratore come si fa a semplificare? visto che al denominatore non ci sta un o-piccolo?
perche negli esempi che ho visto comparivano o-piccolo sia al numeratore che al denominatore e ci si fermava nello sviluppo in modo che l-opiccolo del numeratore risultante(dopo i vari calcoli)fosse uguale (=semplificabile) all'o-piccolo che stava al denominatore!
chiedo aiuto ancora per questo dubbio ,grazie
dunque seguendo i tuoi passaggi mi pare che tu abbia raccolto un x^3/6 :
$ lim_(x -> 0) (x-(x-x^3/6 + o(x^3)))/x^3= (x^3/6+o(x^3))/x^3=(x^3/6(x^3/6*6/x^3+(o(x^3))/x^3))/x^3 $
$ lim_(x -> 0) (x^3/6(x^3/6*6/x^3+(o(x^3))/x^3))/x^3=(x^3/6*(1+o(x^(3-3))))/x^3 =(x^3/6)/x^3*(1+o(1)) $
è giusto il procedimento algebrico per giungere alla tua espressione finale?
mi pare di aver usato l'algebra degli o-piccoli.
e dunque l'espressione o(1) indica una quantità infinitesima(piu infinitesima di ogni cosa visto che è un o-piccolo di 1 e non di una funzione),dunque trascurabile? (e per questo alla fine non la si considera piu)
$ lim_(x -> 0) (x-(x-x^3/6 + o(x^3)))/x^3= (x^3/6+o(x^3))/x^3=(x^3/6(x^3/6*6/x^3+(o(x^3))/x^3))/x^3 $
$ lim_(x -> 0) (x^3/6(x^3/6*6/x^3+(o(x^3))/x^3))/x^3=(x^3/6*(1+o(x^(3-3))))/x^3 =(x^3/6)/x^3*(1+o(1)) $
è giusto il procedimento algebrico per giungere alla tua espressione finale?
mi pare di aver usato l'algebra degli o-piccoli.
e dunque l'espressione o(1) indica una quantità infinitesima(piu infinitesima di ogni cosa visto che è un o-piccolo di 1 e non di una funzione),dunque trascurabile? (e per questo alla fine non la si considera piu)
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