Risultati sbagliati da Wolfram Alpha?
Exact result in goo.gl/vAkm0d non ha due \(e\) di troppo? Ho avuto lo stesso problema con
\[
\begin{split}
\frac{4^{n}n^{n}-5^{n}n^{n}}{n^{9}-5^{n}n!}
&=\frac{n^{n}}{n!}\frac{1}{(n^{9}/(5^{n}n!)-1)}\frac{4^{n}-5^{n}}{5^{n}} \\
&=\frac{n^{n}}{n!}\frac{-1}{(n^{9}/(5^{n}n!)-1)}(1-\frac{4^{n}}{5^{n}}) \\
&\rightarrow \infty\cdot \frac{-1}{0-1}\cdot (1-0)=\infty
\end{split}
\]
che dovrebbe risolvere pic. Al denominatore ho modificato \((n+9)^9\sim n^{9}\) ed ho preso un numeratore più piccolo così il risultato segue per il teorema del confronto. Wolfram Alpha mi dice che il risultato è \(-\infty\). Dove sbaglio?
\[
\begin{split}
\frac{4^{n}n^{n}-5^{n}n^{n}}{n^{9}-5^{n}n!}
&=\frac{n^{n}}{n!}\frac{1}{(n^{9}/(5^{n}n!)-1)}\frac{4^{n}-5^{n}}{5^{n}} \\
&=\frac{n^{n}}{n!}\frac{-1}{(n^{9}/(5^{n}n!)-1)}(1-\frac{4^{n}}{5^{n}}) \\
&\rightarrow \infty\cdot \frac{-1}{0-1}\cdot (1-0)=\infty
\end{split}
\]
che dovrebbe risolvere pic. Al denominatore ho modificato \((n+9)^9\sim n^{9}\) ed ho preso un numeratore più piccolo così il risultato segue per il teorema del confronto. Wolfram Alpha mi dice che il risultato è \(-\infty\). Dove sbaglio?
Risposte
Il num è asintotico a $-5^n*n^n$, il den a $-5^n*n!$. semplificando, $+infty$.
Ora io non ne so molto; ma nonostante ció voglio riportare una citazione di un utente di questo forum...
"Wolfram Alpha è un cretino"... ahah
Comunque viene meno infinito veramente qua.
"Wolfram Alpha è un cretino"... ahah
Comunque viene meno infinito veramente qua.
è l'\(\displaystyle n^9 \) che lo manda in confusione: http://m.wolframalpha.com/input/?i=lim_ ... 29&x=6&y=0
Hai idea del perchè?
Grazie a chi ha risposto.
Accidenti, come faccio a fidarmi d'ora in poi? Ha sbagliato anche con la matrice esponenziale?
Accidenti, come faccio a fidarmi d'ora in poi? Ha sbagliato anche con la matrice esponenziale?
Scusa, ma questo non lo so perchè non conosco l'argomento.
Non so da cosa possa essere dovuto.
L'esponenziale di una matrice diagonale è definita ponendo:
\[
\exp \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} \end{pmatrix}\; .
\]
Quindi il risultato è sbagliato... Ma è sbagliato perché l'input è sbagliato, non perché gli algoritmi di Alpha non funzionino.
Infatti, l'esponenziale di matrice va calcolata usando il comando MatrixExp[{{1, 0},{0, -1}}].
Per il limite: abbiamo:
\[
\begin{split}
(n+1)^n &\approx e\ n^n\\
n! &\approx \sqrt{2\pi}\ e^{-n}\ n^{n+\frac{1}{2}}\\
(n+9)^9 &\approx n^9
\end{split}
\]
(la prima dalla definizione del numero di Nepero[nota]Quindi l'approssimazione asintotica usata sopra è sbagliata.[/nota], la seconda da Stirling), ergo:
\[
\begin{split}
\frac{4^n\ (n+1)^n - 5^n\ n^n}{(n+9)^9 - 5^n\ n!} &\approx \frac{e\ 4^n\ n^n - 5^n\ n^n}{n^9 - \sqrt{2\pi}\ 5^n\ e^{-n}\ n^{n+\frac{1}{2}}} \\
&= \frac{e\ (4e)^n - (5e)^n}{n^{9/n}\ e^n - \sqrt{2\pi}\ 5^n\ \sqrt{n}}
\end{split}
\]
e di qui si trae il risultato giusto.
Qui non so cosa succeda, ma probabilmente Alpha si incasina con qualche determinazione di funzioni complesse (visto che i fattoriali li dovrebbe considerare come funzioni gamma). Boh...
\[
\exp \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2} \end{pmatrix}\; .
\]
Quindi il risultato è sbagliato... Ma è sbagliato perché l'input è sbagliato, non perché gli algoritmi di Alpha non funzionino.
Infatti, l'esponenziale di matrice va calcolata usando il comando MatrixExp[{{1, 0},{0, -1}}].
Per il limite: abbiamo:
\[
\begin{split}
(n+1)^n &\approx e\ n^n\\
n! &\approx \sqrt{2\pi}\ e^{-n}\ n^{n+\frac{1}{2}}\\
(n+9)^9 &\approx n^9
\end{split}
\]
(la prima dalla definizione del numero di Nepero[nota]Quindi l'approssimazione asintotica usata sopra è sbagliata.[/nota], la seconda da Stirling), ergo:
\[
\begin{split}
\frac{4^n\ (n+1)^n - 5^n\ n^n}{(n+9)^9 - 5^n\ n!} &\approx \frac{e\ 4^n\ n^n - 5^n\ n^n}{n^9 - \sqrt{2\pi}\ 5^n\ e^{-n}\ n^{n+\frac{1}{2}}} \\
&= \frac{e\ (4e)^n - (5e)^n}{n^{9/n}\ e^n - \sqrt{2\pi}\ 5^n\ \sqrt{n}}
\end{split}
\]
e di qui si trae il risultato giusto.
Qui non so cosa succeda, ma probabilmente Alpha si incasina con qualche determinazione di funzioni complesse (visto che i fattoriali li dovrebbe considerare come funzioni gamma). Boh...
Quale approssimazione asintotica è sbagliata?
Beh, \((n+1)^n\sim n^n\) non è vera, in quanto \((n+1)^n\sim e\ n^n\). 
"gugo82":
Beh, \((n+1)^n\sim n^n\) non è vera, in quanto \((n+1)^n\sim e\ n^n\).
Non c'è questa cosa nel mio post.
$lim_{n to +infty} (n+1)^n= lim_{n to +infty} n^n*(1+1/n)^n= lim_{n to +infty} e*n^n$.
"mathfag":
[quote="gugo82"]Beh, \((n+1)^n\sim n^n\) non è vera, in quanto \((n+1)^n\sim e\ n^n\).
Non c'è questa cosa nel mio post.[/quote]
Scusa ma nella prima formula che hai scritto, rispetto al testo dell'esercizio, hai sostituito \((n+1)^n\) con \(n^n\), o vedo male io?
[...] ho preso un numeratore più piccolo così il risultato segue per il teorema del confronto.
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