Risposta veloce, criterio di Leibniz.
Salve a tutti, avrei una domanda. Se ho una serie a segno alterno del tipo $\sum_{n=0}^\infty\(-1^n$)$a_n$
Se studiando la convergenza assoluta mi accorgo che la serie è assolutamente divergente, procedo nell'applicare il criterio di Leibniz.
Se verificando che $\lim_{n \to \infty}a_n$ ≠ 0
cosa posso concludere? Che la serie è indeterminata, che la serie è divergente, o non posso stabilirlo? Grazie.
Se studiando la convergenza assoluta mi accorgo che la serie è assolutamente divergente, procedo nell'applicare il criterio di Leibniz.
Se verificando che $\lim_{n \to \infty}a_n$ ≠ 0
cosa posso concludere? Che la serie è indeterminata, che la serie è divergente, o non posso stabilirlo? Grazie.
Risposte
Se la serie dei valori assoluti diverge, potrebbe comunque accadere che la serie originale converga: pensa a [tex]$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}$[/tex]. In ta caso dovrai usare Leibniz o anche altri metodi.
Se invece scopri che in una serie [tex]$\lim_{n\to\infty} a_n\neq 0$[/tex] puoi subito concludere che la serie NON converge.
Se invece scopri che in una serie [tex]$\lim_{n\to\infty} a_n\neq 0$[/tex] puoi subito concludere che la serie NON converge.
"ciampax":
Se la serie dei valori assoluti diverge, potrebbe comunque accadere che la serie originale converga: pensa a [tex]$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}$[/tex]. In ta caso dovrai usare Leibniz o anche altri metodi.
Se invece scopri che in una serie [tex]$\lim_{n\to\infty} a_n\neq 0$[/tex] puoi subito concludere che la serie NON converge.
Sì, so che se una serie è assolutamente divergente può anche essere convergente. Per farlo, dopo aver notato che la serie è assolutamente divergente (in una serie a segno alterno) vado ad aplicare il criterio di Leibniz. Se non si verifica la condizione che in
$\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n * a_n$
$\lim_{n\to\infty} a_n\ne 0$ la serie dunque non converge. Ma se non converge cosa fa, diverge o è indeterminata o non si può dire ?
Se fosse a termini costanti (non alterni) potresti immediatamente darne il carattere. In questo caso, devi osservare cosa accade. Una buona idea è quella di vedere come si comporta la successione delle somme parziali.
Quindi se non converge, non si può subito trarre le conclusioni sul comportamento della serie a segno alterno giusto?
E già.
Ok, grazie.
Un vecchio esempio proposto da me lo trovi qui.
Dovrebbe essercene pure un altro di mio post, in cui mostravo che in realtà, se non è verificata [tex]$a_n\to 0$[/tex] tra le ipotesi del criterio di Leibniz, in generale non si può dire nulla sul carattere di [tex]\sum (-1)^n a_n[/tex] (poiché la serie può risultare divergente positivamente, negativamente o anche indeterminata).
Dovrebbe essercene pure un altro di mio post, in cui mostravo che in realtà, se non è verificata [tex]$a_n\to 0$[/tex] tra le ipotesi del criterio di Leibniz, in generale non si può dire nulla sul carattere di [tex]\sum (-1)^n a_n[/tex] (poiché la serie può risultare divergente positivamente, negativamente o anche indeterminata).
Bello l'esempio. Io ne ho altri due simili... mi chiedo se si possa costruire uno che non faccia ricorso a due tipologie di termini (anche i miei esempi hanno il termine generale che si sdoppia per il caso pari e dispari).
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