Risposta ODE per t che tende ad infinito

[enpires1]

Salve a tutti
Non riesco a risolvere un problema che dovrebbe essere sufficientemente semplice.

Ho il seguente sistema di equazioni differenziali lineari (scritto in forma matriciale)
[tex]\begin{pmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \\ \dot x_3 \\ \dot x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -k & k & -c & 0 \\ j & -j & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix} u =Ax+Bu[/tex]

Dove [tex]x_i,u[/tex] sono funzioni di [tex]t\in R^+[/tex], con [tex]x(0)=0[/tex] come vettore di condizioni iniziali e [tex]u(t)=1[/tex].

Voglio trovare il valore di [tex]x_3[/tex] quando [tex]t[/tex] tende ad infinito.
Se la matrice [tex]A[/tex] fosse invertibile con autovalori a parte reale negativa non avrei problemi, infatti all'infinito avrei [tex]\dot x = 0[/tex] e mi basterebbe calcolare [tex]-A^{-1}B[/tex], ma non è questo il caso.
D'altra parte, da una simulazione in Simulink, so che [tex]x_3[/tex] raggiunge un valore fisso per [tex]t[/tex] infinito...

Come posso calcolarlo matematicamente? Mi basta anche avere una "traccia" da seguire

EDIT: avevo fatto degli errori nel riscrivere il problema, corretti

[enpires1]

Up