Risolvere un'equazione differenziale derivandola
salve, il quesito che vi pongo nasce dalla lettura di un testo di teoria dei sistemi ma è squisitamente matematico.
si parte dalla soluzione di un`equazione differenziale del primo ordine
f'(x)+f(x)+c=0
l'autore la deriva per eliminare c e risolverla con Laplace.
f''(x)+f'(x)=0
perché fare una cosa del genere non si perde qualcosa derivando?
si parte dalla soluzione di un`equazione differenziale del primo ordine
f'(x)+f(x)+c=0
l'autore la deriva per eliminare c e risolverla con Laplace.
f''(x)+f'(x)=0
perché fare una cosa del genere non si perde qualcosa derivando?
Risposte
Se $y(x)$ è una funzione tale che \(y'+y+c=0\), allora \(y'+y=-c\) e dunque il LHS ha derivata nulla... non c'è niente di più. Detto ciò, poi, queste ODE lineari non omogenee a coefficienti costanti si risolvono tutte nello stesso modo.
"solaàl":
Se $y(x)$ è una funzione tale che \(y'+y+c=0\), allora \(y'+y=-c\) e dunque il LHS ha derivata nulla... non c'è niente di più. Detto ciò, poi, queste ODE lineari non omogenee a coefficienti costanti si risolvono tutte nello stesso modo.
grazie per la risposta ma non ho capito la differenza tra risolvere l'eq iniziale e il vantaggio di risolvere l'eq derivata, oltre al fatto di capire quale regola ci sia dietro che permetta questo passaggio senza perdita.
Quel metodo lì non offre nessun vantaggio.[nota]Anzi, per essere applicato senza patemi, porterebbe a discutere la maggiore regolarità "a priori" della soluzione della EDO assegnata. Chiaro che questa cosa è molto semplice perché basta usare una tecnica di bootstrap elementare, cioè ragionare come segue: se $y(x)$ è una soluzione di $y^\prime (x) + y(x) + c =0$, allora, per definizione, $y$ è continua nel proprio intervallo di definizione $I$ ed ivi derivabile; dato che, per la EDO, risulta $y^\prime (x) = - y(x) - c$, la funzione $y^\prime$ è continua e derivabile nell'intervallo $I$, quindi $y in C^1(I)$ ed $y$ è derivabile due volte in $I$. A questo punto, puoi tranquillamente derivare membro a membro la tua EDO, perché tutte le funzioni che vi compaiono sono derivabili tante volte quanto serve.
(Osserva, inoltre, che questa tecnica può essere applicata in maniera iterata anche alla EDO derivata e ti fornisce $y in C^2(I)$ ed $y$ derivabile tre volte; quindi puoi derivare di nuovo la EDO, usare la tecnica ed ottenere $y in C^3(I)$ ed $y$ derivabile quattro volte... And so on.)[/nota]
Meglio ragionare così.
Dato che $y^\prime (x) = ("d")/("d"x) [y(x) + c]$ è chiaro che introducendo l'incognita ausiliaria $u(x) := y(x) + c$ l'equazione si riscrive:
$u^\prime (x) + u(x) = 0$
e porge immediatamente come integrale generale $u(x) = C e^(-x)$.
Dunque l'integrale generale della EDO assegnata è:
$ y(x) = C e^(-x) + c$.
(Osserva, inoltre, che questa tecnica può essere applicata in maniera iterata anche alla EDO derivata e ti fornisce $y in C^2(I)$ ed $y$ derivabile tre volte; quindi puoi derivare di nuovo la EDO, usare la tecnica ed ottenere $y in C^3(I)$ ed $y$ derivabile quattro volte... And so on.)[/nota]
Meglio ragionare così.
Dato che $y^\prime (x) = ("d")/("d"x) [y(x) + c]$ è chiaro che introducendo l'incognita ausiliaria $u(x) := y(x) + c$ l'equazione si riscrive:
$u^\prime (x) + u(x) = 0$
e porge immediatamente come integrale generale $u(x) = C e^(-x)$.
Dunque l'integrale generale della EDO assegnata è:
$ y(x) = C e^(-x) + c$.
"gugo82":
Quel metodo lì non offre nessun vantaggio.[nota]Anzi, per essere applicato senza patemi, porterebbe a discutere la maggiore regolarità "a priori" della soluzione della EDO assegnata. Chiaro che questa cosa è molto semplice perché basta usare una tecnica di bootstrap elementare, cioè ragionare come segue: se $y(x)$ è una soluzione di $y^\prime (x) + y(x) + c =0$, allora, per definizione, $y$ è continua nel proprio intervallo di definizione $I$ ed ivi derivabile; dato che, per la EDO, risulta $y^\prime (x) = - y(x) - c$, la funzione $y^\prime$ è continua e derivabile nell'intervallo $I$, quindi $y in C^1(I)$ ed $y$ è derivabile due volte in $I$. A questo punto, puoi tranquillamente derivare membro a membro la tua EDO, perché tutte le funzioni che vi compaiono sono derivabili tante volte quanto serve.
(Osserva, inoltre, che questa tecnica può essere applicata in maniera iterata anche alla EDO derivata e ti fornisce $y in C^2(I)$ ed $y$ derivabile tre volte; quindi puoi derivare di nuovo la EDO, usare la tecnica ed ottenere $y in C^3(I)$ ed $y$ derivabile quattro volte... And so on.)[/nota]
Meglio ragionare così.
Dato che $y^\prime (x) = ("d")/("d"x) [y(x) + c]$ è chiaro che introducendo l'incognita ausiliaria $u(x) := y(x) + c$ l'equazione si riscrive:
$u^\prime (x) + u(x) = 0$
e porge immediatamente come integrale generale $u(x) = C e^(-x)$.
Dunque l'integrale generale della EDO assegnata è:
$ y(x) = C e^(-x) + c$.
nella nota sei stato semplicemente fantastico, meglio non potevi rispondermi. grazie!
Prego.
La cosa simpatica è che la nota è quasi più lunga del post...
La cosa simpatica è che la nota è quasi più lunga del post...
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