Risolvere un'eq. diff. senza 'svolgerla'

[ludwigZero]

buonasera!
ho questo esercizio:

http://i48.tinypic.com/nd203k.jpg

ad occhio , senza alcun calcolo, avrei detto come soluzione dell'omogenea associata: $y(x)= e^(2x)$

per la particolare, intuitivamente non mi è venuto granchè.. anche perchè credo che si dovrebbe risolvere:

$v(x) = a cos x + b sin x$
$v'(x) = .....$

ma dice senza calcolarle, evidentemente c'è qualche 'trucco' visivo o teorico che mi sfugge, qualcuno può darmi qualche dritta? grazie

[Plepp]

Bah, secondo me non c'è un gran che di "trucco" da applicare...$y=\sin x$ e $y=e^{2x}$ si scartano senza pensarci due volte (penso che il perché sia evidente...), mentre per capire quale tra le rimanenti due è la funzione esatta, sostituisci una a caso nell'equazione.

EDIT: avevo invertito l'ordine tra due parole l'ora è tarda

[ludwigZero]

giusto! per essere $y(x) = e^(2x)$ avrebbe dovuto scrivere: $y(x) = c e^(2x)$ giusto?
per le altre due, combinazioni di $sin x$ e $cos x$ dici basta prendere una delle due, derivare una volta e piazzarla nell'eq. diff? se la prima ottiene $cos x$ allora è quella giusta?

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OT: hai mai visto da qualche libro questa tipologia di problema?

[Plepp]

"ludwigZero":giusto! per essere $y(x) = e^(2x)$ avrebbe dovuto scrivere: $y(x) = c e^(2x)$ giusto?

No. Semplicemente, sommando, sottraendo, moltiplicando (o facendo qualsiasi altra cosa, se non una magia) le derivate di $e^{\alpha x}$ non otterrai mai $\cos x$

"ludwigZero":
per le altre due, combinazioni di $sin x$ e $cos x$ dici basta prendere una delle due, derivare una volta e piazzarla nell'eq. diff? se la prima ottiene $cos x$ allora è quella giusta?

Si. Una volta escluse le prime due (seno ed esponenziale) per verificare quale tra le rimanenti è la risposta esatta, sostituisci una a caso nell'equazione: se ottieni un'identità, allora la $y$ che hai scelto è soluzione, altrimenti, salvo errori di chi ha scritto l'esercizio, la risposta corretta è l'altra rimasta.

Non mi è mai capitato di dover risolvere esercizi come questo mentre studiavo Analisi II...m'è capitato giusto qualche volta di partecipare ad una discussione su esercizi simili, qui sul Forum.

[ludwigZero]

ah grazie.
sai percaso, so che sono un rompi, la parola chiave per trovare esercizi simili al mio? perchè nel ''cerca'' non ho trovato granchè!

[Plepp]

Mah non saprei prova cose come "quiz eq. differenziali" o robe simili...oppure prova a "googlare" un po'.

[Palliit]

Ciao. Prova qua