Risolvere un limite di successione ?
Buonasera sto cercando di risolvere questo limite ma non riesco ad arrivare ad una conclusione
$lim_(n->\infty)(1/2n^(1/n)+sin(n!)/n)(sqrt(1+8n^2)-n)/(log(1+e^(n+2))-n/2)$
Ho provato a risolvere in questo modo :
$n^(1/n) = 1$
$sin(n!) ~ n!$ per $n->\infty$
$(sqrt(1+8n^2)-n) = n(sqrt(8)-1)$
$log(1+e^(n+2)) ~ e^(n+2)$ per $n->\infty$
quindi..
$lim_(n->\infty)(1/2+(n!)/n)(n(sqrt(8)-1))/(e^(n+2)-n/2)$
Ho fatto altre svariate prove ma niente da fare, non riesco a capire cosa manca per risolverlo
$lim_(n->\infty)(1/2n^(1/n)+sin(n!)/n)(sqrt(1+8n^2)-n)/(log(1+e^(n+2))-n/2)$
Ho provato a risolvere in questo modo :
$n^(1/n) = 1$
$sin(n!) ~ n!$ per $n->\infty$
$(sqrt(1+8n^2)-n) = n(sqrt(8)-1)$
$log(1+e^(n+2)) ~ e^(n+2)$ per $n->\infty$
quindi..
$lim_(n->\infty)(1/2+(n!)/n)(n(sqrt(8)-1))/(e^(n+2)-n/2)$
Ho fatto altre svariate prove ma niente da fare, non riesco a capire cosa manca per risolverlo
Risposte
Guarda, qui \(\sin n!\sim n!\) non ci sei proprio...
Ciao Anacleto13,
Benvenuto sul forum!
Come spesso accade, gugo82 ha ragione...
Qualche suggerimento... Considera separatamente i due limiti
$lim_(n->\infty)(1/2n^(1/n)+sin(n!)/n)$ e $lim_(n->\infty)(sqrt(1+8n^2)-n)/(log(1+e^(n+2))-n/2)$
Il primo, tenendo conto che $lim_(n->\infty) n^(1/n) = 1$ e che $-1 \le sin (\cdot) \le 1$ vale...
Per il secondo ti dico solo che si trova $4 sqrt 2 - 2$...
Benvenuto sul forum!
Come spesso accade, gugo82 ha ragione...
Qualche suggerimento... Considera separatamente i due limiti
$lim_(n->\infty)(1/2n^(1/n)+sin(n!)/n)$ e $lim_(n->\infty)(sqrt(1+8n^2)-n)/(log(1+e^(n+2))-n/2)$
Il primo, tenendo conto che $lim_(n->\infty) n^(1/n) = 1$ e che $-1 \le sin (\cdot) \le 1$ vale...
Per il secondo ti dico solo che si trova $4 sqrt 2 - 2$...
Ok grazie per i consigli.
ho applicato il teorema del confronto per il sin e risulta quindi 0.
dall'altra parte
$\lim_{n \to \infty} (sqrt(8)n - n)/(e^(n+2)-n/2)$
raccogliendo n al nominatore e n/2 al denominatore ho:
$\lim_{n \to \infty} (n(sqrt(8) - 1))/(n/2(2e^(n+2)/n-1))$
semplificando n e portando il 2 a nominatore
$\lim_{n \to \infty} ((4sqrt(2) - 2))/((2e^(n+2)/n-1))$
e sotto rimango ancora bloccato
..non so come uscirne
ho applicato il teorema del confronto per il sin e risulta quindi 0.
dall'altra parte
$\lim_{n \to \infty} (sqrt(8)n - n)/(e^(n+2)-n/2)$
raccogliendo n al nominatore e n/2 al denominatore ho:
$\lim_{n \to \infty} (n(sqrt(8) - 1))/(n/2(2e^(n+2)/n-1))$
semplificando n e portando il 2 a nominatore
$\lim_{n \to \infty} ((4sqrt(2) - 2))/((2e^(n+2)/n-1))$
e sotto rimango ancora bloccato
..non so come uscirne
Ciao Anacleto13,
No, decisamente non ci sei: è concesso fare uso degli sviluppi asintotici, ma tu li applichi erroneamente...
Tieni presente che
[tex]\log(1 + \epsilon (n)) \sim \epsilon (n)[/tex]
e
[tex](1 + \epsilon (n))^{\alpha} - 1 \sim \alpha \epsilon (n)[/tex]
quando $\epsilon (n) \to 0$...
No, decisamente non ci sei: è concesso fare uso degli sviluppi asintotici, ma tu li applichi erroneamente...
Tieni presente che
[tex]\log(1 + \epsilon (n)) \sim \epsilon (n)[/tex]
e
[tex](1 + \epsilon (n))^{\alpha} - 1 \sim \alpha \epsilon (n)[/tex]
quando $\epsilon (n) \to 0$...
Grazie della risposta .. sono riuscito finalmente a risolvere il limite, ripassando un attimo le equivalenze asintotiche, rendendomi conto che erano sbagliate, più tardi magari scriverò il processo (sperando sia giusto) magari potrà servire a qualcuno 
Ciao Anacleto13,
Beh, se l'hai risolto quando hai un po' di tempo postalo: non tanto per vedere se è giusto (ormai penso che lo sia... ), ma perché sarebbe la dimostrazione pratica che le nostre indicazioni ti sono servite e questo per noi sarebbe motivo di notevole soddisfazione.
Beh, se l'hai risolto quando hai un po' di tempo postalo: non tanto per vedere se è giusto (ormai penso che lo sia...
), ma perché sarebbe la dimostrazione pratica che le nostre indicazioni ti sono servite e questo per noi sarebbe motivo di notevole soddisfazione.
Soluzione:
prendendo i casi singolarmente:
1. $n^(1/n)=1$
2. $sin(n!)/n = 0$, per il teorema del confronto (o dei carabinieri)
3.$log(1+e^(n+2)) = loge^(n+2) = n+2$, raccogliendo $e^(n+2)$ e risolvendo il logaritmo.
4.$sqrt(1+8n^2) = n(sqrt(8)-1)$ raccogliendo n
quindi ci resta
$\lim_{n \to \infty} 1/2((n(sqrt(8)-1))/(n+2-n/2))$ facendo un mcm a denominatore rimane:
$\lim_{n \to \infty} ((n(sqrt(8)-1))/(n+4))$ raccogliendo n a denominatore e semplificandolo con quello al nominatore rimane:
$sqrt(8)-1$ che è la soluzione del limite
prendendo i casi singolarmente:
1. $n^(1/n)=1$
2. $sin(n!)/n = 0$, per il teorema del confronto (o dei carabinieri)
3.$log(1+e^(n+2)) = loge^(n+2) = n+2$, raccogliendo $e^(n+2)$ e risolvendo il logaritmo.
4.$sqrt(1+8n^2) = n(sqrt(8)-1)$ raccogliendo n
quindi ci resta
$\lim_{n \to \infty} 1/2((n(sqrt(8)-1))/(n+2-n/2))$ facendo un mcm a denominatore rimane:
$\lim_{n \to \infty} ((n(sqrt(8)-1))/(n+4))$ raccogliendo n a denominatore e semplificandolo con quello al nominatore rimane:
$sqrt(8)-1$ che è la soluzione del limite
Ciao Anacleto13,
Diciamo che in realtà io avevo pensato ad una soluzione diversa. Il primo limite sappiamo già che vale $frac{1}{2}$; per il secondo avrei fatto comparire le stime asintotiche che ti ho citato:
$\lim_{n \to infty} (sqrt(1+8n^2)-n)/(log(1+e^(n+2)) - n/2) = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 \sqrt{1 + frac{1}{8n^2}} - n}{log e^{n + 2}\cdot (1 + e^{-n - 2}) - frac{n}{2}} = $
$ = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 \sqrt{1 + frac{1}{8n^2}} - 2n \sqrt 2 + 2n \sqrt 2 - n}{n + 2 + log (1 + e^{-n - 2}) - frac{n}{2}} = $
$ = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 (\sqrt{1 + frac{1}{8n^2}} - 1) + n(2 \sqrt 2 - 1)}{n + 2 + log (1 + e^{-n - 2}) - frac{n}{2}} = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 \cdot frac{1}{2} frac{1}{8n^2} + n(2 \sqrt 2 - 1)}{2 + e^{-n - 2} + frac{n}{2}} = $
$ = \lim_{n \to infty} frac{frac{\sqrt 2}{8n} + n(2 \sqrt 2 - 1)}{2 + e^{-n - 2} + frac{n}{2}} = \lim_{n \to infty} frac{frac{\sqrt 2}{4n} + n(4 \sqrt 2 - 2)}{4 + 2e^{-n - 2} + n} = 4\sqrt 2 - 2$
In definitiva il risultato del limite che hai proposto è il seguente:
$lim_{n to \infty}(1/2n^(1/n)+sin(n!)/n)(sqrt(1+8n^2) - n)/(log(1+e^(n+2)) - n/2) = frac{1}{2}(4\sqrt 2 - 2) = 2\sqrt 2 - 1= sqrt 8 - 1$
che coincide col risultato da te ottenuto.
Diciamo che in realtà io avevo pensato ad una soluzione diversa. Il primo limite sappiamo già che vale $frac{1}{2}$; per il secondo avrei fatto comparire le stime asintotiche che ti ho citato:
$\lim_{n \to infty} (sqrt(1+8n^2)-n)/(log(1+e^(n+2)) - n/2) = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 \sqrt{1 + frac{1}{8n^2}} - n}{log e^{n + 2}\cdot (1 + e^{-n - 2}) - frac{n}{2}} = $
$ = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 \sqrt{1 + frac{1}{8n^2}} - 2n \sqrt 2 + 2n \sqrt 2 - n}{n + 2 + log (1 + e^{-n - 2}) - frac{n}{2}} = $
$ = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 (\sqrt{1 + frac{1}{8n^2}} - 1) + n(2 \sqrt 2 - 1)}{n + 2 + log (1 + e^{-n - 2}) - frac{n}{2}} = \lim_{n \to infty} frac{2n \sqrt 2 \cdot frac{1}{2} frac{1}{8n^2} + n(2 \sqrt 2 - 1)}{2 + e^{-n - 2} + frac{n}{2}} = $
$ = \lim_{n \to infty} frac{frac{\sqrt 2}{8n} + n(2 \sqrt 2 - 1)}{2 + e^{-n - 2} + frac{n}{2}} = \lim_{n \to infty} frac{frac{\sqrt 2}{4n} + n(4 \sqrt 2 - 2)}{4 + 2e^{-n - 2} + n} = 4\sqrt 2 - 2$
In definitiva il risultato del limite che hai proposto è il seguente:
$lim_{n to \infty}(1/2n^(1/n)+sin(n!)/n)(sqrt(1+8n^2) - n)/(log(1+e^(n+2)) - n/2) = frac{1}{2}(4\sqrt 2 - 2) = 2\sqrt 2 - 1= sqrt 8 - 1$
che coincide col risultato da te ottenuto.
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