Risolvere un integrale come un eq differenziale.

Knuckles1
Ho $\int(xe^xcosx)dx$

Allora determinare le primitive y(x) di $xe^xcosx$ significa risolvere $y'(x)=xe^xcosx$.... Trovata che l'eq caratteristica è lamda=0 come trovo la soluzione particolare essendo $b(x)=xe^xcosx$?

Risposte
Lord K
Non mi pare molto chiara la tua asserzione... puoi cercare di farmela capire meglio?

Knuckles1
devo risolvere $f(x)=\int(xe^xcosx)dx$ e dal teorema fondamentale del calcolo integrale so che $f'(x)=g(x)$ quindi scrivendo al posto di f(x) y(x) avrò $y'(x)=xe^xcosx$ giusto? che non è un eq diff lineare a coeff costanti? se si sapendo che lambda=0 è l'eq caratteristica dell'omogenea associata come trovo la soluzione particolare dell'eq completa?

Lord K
...con l'integrale di cui sopra...

Non credo ci sia un modo simile di risolvere il problema, anche se ovviamente sono passibile di smentita! :)

Knuckles1
no non ho capito.... se al posto di $xe^xcosx$ avevo solo $e^x$ b(x) è del tipo: $b(x)=he^(kx)$ dove k che in questo caso vale 1 non è radice dell'eq caratteristica, per cui devo trovare una soluzione del tipo $Ae^(kx)$ cioè in quest'ultimo caso $Ae^x$........... ma con $xe^xcosx$ che tipo di soluzione devo cercare? il mio prof ha scritto y*(x)$=e^x(Ax+B)cosx+e^x(Cx+D)senx$ ma non riesco a capire perchè....

ViciousGoblin
"Knuckles":
no non ho capito.... se al posto di $xe^xcosx$ avevo solo $e^x$ b(x) è del tipo: $b(x)=he^(kx)$ dove k che in questo caso vale 1 non è radice dell'eq caratteristica, per cui devo trovare una soluzione del tipo $Ae^(kx)$ cioè in quest'ultimo caso $Ae^x$........... ma con $xe^xcosx$ che tipo di soluzione devo cercare? il mio prof ha scritto y*(x)$=e^x(Ax+B)cosx+e^x(Cx+D)senx$ ma non riesco a capire perchè....


Perche' e' noto che la primitiva di $xe^xcosx$ e' del tipo $=e^x(Ax+B)cosx+e^x(Cx+D)senx$ con $A,B,C,D$ da determinare
(penso che tu volessi scrivere $y(x)$ e non $y'(x)$).
Si puo' anche trovare tale risultato usando (in modo furbo) l'integrazione per parti.

Lord K
Io uso un poca di conoscenza di analisi complessa, ricordandomi che:

$cosx = (e^(ix)+e^(-ix))/2$
$sinx = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i)$

L'integrale allora si risolve in maniera semplice, visto che:

$int xe^xcosx dx = int xe^x* (e^(ix)+e^(-ix))/2 dx = 1/2*int xe^((1+i)*x)dx + 1/2*int xe^((1-i)*x)dx =
$=1/2[(xe^((1+i)*x))/(1+i) - (e^((1+i)*x))/(1+i)] + 1/2[(xe^((1-i)*x))/(1-i) - (e^((1-i)*x))/(1-i)] = 1/2xe^x[(e^(ix))/(1+i) + (e^(-ix))/(1-i)] - 1/2e^x[(e^(ix))/(1+i) + (e^(-ix))/(1-i)]=$
$=1/2xe^x(cosx+sinx) + 1/2e^x(cosx+sinx)$

Da cui la forma che ti è stata data!

Knuckles1
E' noto da dove? cmq... quindi se io ho un integrale meglio lasciare perdere le eq diff?

Lord K
Tendenzialmente il discorso è equivalente, se avessi saputo che quella funzione era tipica di quell'equazione ti sarebbe stata utile... io non la conoscevo e ho percorso una strada differente...

dissonance

Knuckles1
grazie ma ce l'avevo già :)

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