Risolvere un integrale come un eq differenziale.
Ho $\int(xe^xcosx)dx$
Allora determinare le primitive y(x) di $xe^xcosx$ significa risolvere $y'(x)=xe^xcosx$.... Trovata che l'eq caratteristica è lamda=0 come trovo la soluzione particolare essendo $b(x)=xe^xcosx$?
Allora determinare le primitive y(x) di $xe^xcosx$ significa risolvere $y'(x)=xe^xcosx$.... Trovata che l'eq caratteristica è lamda=0 come trovo la soluzione particolare essendo $b(x)=xe^xcosx$?
Risposte
Non mi pare molto chiara la tua asserzione... puoi cercare di farmela capire meglio?
devo risolvere $f(x)=\int(xe^xcosx)dx$ e dal teorema fondamentale del calcolo integrale so che $f'(x)=g(x)$ quindi scrivendo al posto di f(x) y(x) avrò $y'(x)=xe^xcosx$ giusto? che non è un eq diff lineare a coeff costanti? se si sapendo che lambda=0 è l'eq caratteristica dell'omogenea associata come trovo la soluzione particolare dell'eq completa?
...con l'integrale di cui sopra...
Non credo ci sia un modo simile di risolvere il problema, anche se ovviamente sono passibile di smentita!
Non credo ci sia un modo simile di risolvere il problema, anche se ovviamente sono passibile di smentita!
no non ho capito.... se al posto di $xe^xcosx$ avevo solo $e^x$ b(x) è del tipo: $b(x)=he^(kx)$ dove k che in questo caso vale 1 non è radice dell'eq caratteristica, per cui devo trovare una soluzione del tipo $Ae^(kx)$ cioè in quest'ultimo caso $Ae^x$........... ma con $xe^xcosx$ che tipo di soluzione devo cercare? il mio prof ha scritto y*(x)$=e^x(Ax+B)cosx+e^x(Cx+D)senx$ ma non riesco a capire perchè....
"Knuckles":
no non ho capito.... se al posto di $xe^xcosx$ avevo solo $e^x$ b(x) è del tipo: $b(x)=he^(kx)$ dove k che in questo caso vale 1 non è radice dell'eq caratteristica, per cui devo trovare una soluzione del tipo $Ae^(kx)$ cioè in quest'ultimo caso $Ae^x$........... ma con $xe^xcosx$ che tipo di soluzione devo cercare? il mio prof ha scritto y*(x)$=e^x(Ax+B)cosx+e^x(Cx+D)senx$ ma non riesco a capire perchè....
Perche' e' noto che la primitiva di $xe^xcosx$ e' del tipo $=e^x(Ax+B)cosx+e^x(Cx+D)senx$ con $A,B,C,D$ da determinare
(penso che tu volessi scrivere $y(x)$ e non $y'(x)$).
Si puo' anche trovare tale risultato usando (in modo furbo) l'integrazione per parti.
Io uso un poca di conoscenza di analisi complessa, ricordandomi che:
$cosx = (e^(ix)+e^(-ix))/2$
$sinx = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i)$
L'integrale allora si risolve in maniera semplice, visto che:
$int xe^xcosx dx = int xe^x* (e^(ix)+e^(-ix))/2 dx = 1/2*int xe^((1+i)*x)dx + 1/2*int xe^((1-i)*x)dx =
$=1/2[(xe^((1+i)*x))/(1+i) - (e^((1+i)*x))/(1+i)] + 1/2[(xe^((1-i)*x))/(1-i) - (e^((1-i)*x))/(1-i)] = 1/2xe^x[(e^(ix))/(1+i) + (e^(-ix))/(1-i)] - 1/2e^x[(e^(ix))/(1+i) + (e^(-ix))/(1-i)]=$
$=1/2xe^x(cosx+sinx) + 1/2e^x(cosx+sinx)$
Da cui la forma che ti è stata data!
$cosx = (e^(ix)+e^(-ix))/2$
$sinx = (e^(ix)-e^(-ix))/(2i)$
L'integrale allora si risolve in maniera semplice, visto che:
$int xe^xcosx dx = int xe^x* (e^(ix)+e^(-ix))/2 dx = 1/2*int xe^((1+i)*x)dx + 1/2*int xe^((1-i)*x)dx =
$=1/2[(xe^((1+i)*x))/(1+i) - (e^((1+i)*x))/(1+i)] + 1/2[(xe^((1-i)*x))/(1-i) - (e^((1-i)*x))/(1-i)] = 1/2xe^x[(e^(ix))/(1+i) + (e^(-ix))/(1-i)] - 1/2e^x[(e^(ix))/(1+i) + (e^(-ix))/(1-i)]=$
$=1/2xe^x(cosx+sinx) + 1/2e^x(cosx+sinx)$
Da cui la forma che ti è stata data!
E' noto da dove? cmq... quindi se io ho un integrale meglio lasciare perdere le eq diff?
Tendenzialmente il discorso è equivalente, se avessi saputo che quella funzione era tipica di quell'equazione ti sarebbe stata utile... io non la conoscevo e ho percorso una strada differente...
grazie ma ce l'avevo già
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