Risolvere questi limiti
$lim_(n->oo) n^2(sin(1/n)+1-e^(1/n))$
$lim_(n->oo) n^2(sin(1/n)-1+e^(1/n))$
Sapete dirmi come si risolvono??
grazie
$lim_(n->oo) n^2(sin(1/n)-1+e^(1/n))$
Sapete dirmi come si risolvono??
grazie
Risposte
Basta che usi gli sviluppi di Mac Laurin:
$\lim_{n\to+\infty}n^2(\sin(1/n)+1-e^{1/n})=\lim_{n\to+\infty}n^2(1/n+o(1/n^2)+1-1-1/n-1/2 1/n^2+o(1/n^2))=\lim_{n\to+\infty}-n^2/{2n^2}+o(1)=-1/2$
$\lim_{n\to+\infty}n^2(\sin(1/n)+1-e^{1/n})=\lim_{n\to+\infty}n^2(1/n+o(1/n^2)+1-1-1/n-1/2 1/n^2+o(1/n^2))=\lim_{n\to+\infty}-n^2/{2n^2}+o(1)=-1/2$
Il primo limite dovrebbe essere $-1/2$.
La successione si può riscrivere come:
$n^2(sin(1/n)-(e^(1/n)-1))
Per $n->+oo$ si ha:
$sin(1/n)=1/n+o(1/n^2)
$e^(1/n)-1=1/n+1/(2n^2)+o(1/n^2)
E sostituendo si trova:
$n^2(-1/(2n^2) + o(1/n^2))
ovvero la successione $sin(1/n)-(e^(1/n)-1)$
è asintotica a $-1/(2n^2)$ per $n->+oo$ e dunque
il prodotto $n^2*(-1/(2n^2))$ tende a $-1/2$.
La successione si può riscrivere come:
$n^2(sin(1/n)-(e^(1/n)-1))
Per $n->+oo$ si ha:
$sin(1/n)=1/n+o(1/n^2)
$e^(1/n)-1=1/n+1/(2n^2)+o(1/n^2)
E sostituendo si trova:
$n^2(-1/(2n^2) + o(1/n^2))
ovvero la successione $sin(1/n)-(e^(1/n)-1)$
è asintotica a $-1/(2n^2)$ per $n->+oo$ e dunque
il prodotto $n^2*(-1/(2n^2))$ tende a $-1/2$.
Essendo forme indeterminate $OO*0$ potresti anche risolverli semplicemente con i limiti notevoli.Ti consiglio questo link, utile per risolvere questi tipo di limiti.http://www.studentoffice.org/userfiles/ ... zioni1.jpg
Se vuoi risolverlo più semplicemente puoi fare.......
sostituire 1/n con x e dunque il lim_(n->00) diventa lim_(x->0), la successione diventa dunque:
lim_(x->0) (sin(x)+1-e^x)/x^2 il che da 0/0 (forma indeterminata) quindi si può utilizzare il teorema di de L'Hopital ossia derivare numeratore e denominatore della successione e riporre il limite......diventa:
lim_(x->0) (cos(x)-e^x)/2x il quale da ancora 0/0......ripetiamo un'altra volta teorema di de L'Hopital.......
lim_(x->0) (-sin(x)-e^x)/2 che finalmente ci da il risultato -1/2
Ciao
Alexp
sostituire 1/n con x e dunque il lim_(n->00) diventa lim_(x->0), la successione diventa dunque:
lim_(x->0) (sin(x)+1-e^x)/x^2 il che da 0/0 (forma indeterminata) quindi si può utilizzare il teorema di de L'Hopital ossia derivare numeratore e denominatore della successione e riporre il limite......diventa:
lim_(x->0) (cos(x)-e^x)/2x il quale da ancora 0/0......ripetiamo un'altra volta teorema di de L'Hopital.......
lim_(x->0) (-sin(x)-e^x)/2 che finalmente ci da il risultato -1/2
Ciao
Alexp
Se vuoi risolverlo più semplicemente puoi fare.......
sostituire 1/n con x e dunque il lim_(n->00) diventa lim_(x->0), la successione diventa dunque:
$lim_(x->0) (sin(x)+1-e^x)/x^2$ il che da 0/0 (forma indeterminata) quindi si può utilizzare il teorema di de L'Hopital ossia derivare numeratore e denominatore della successione e riporre il limite......diventa:
$lim_(x->0) (cos(x)-e^x)/2x$ il quale da ancora 0/0......ripetiamo un'altra volta teorema di de L'Hopital.......
$lim_(x->0) (-sin(x)-e^x)/2$ che finalmente ci da il risultato -1/2
Ciao
Alexp
sostituire 1/n con x e dunque il lim_(n->00) diventa lim_(x->0), la successione diventa dunque:
$lim_(x->0) (sin(x)+1-e^x)/x^2$ il che da 0/0 (forma indeterminata) quindi si può utilizzare il teorema di de L'Hopital ossia derivare numeratore e denominatore della successione e riporre il limite......diventa:
$lim_(x->0) (cos(x)-e^x)/2x$ il quale da ancora 0/0......ripetiamo un'altra volta teorema di de L'Hopital.......
$lim_(x->0) (-sin(x)-e^x)/2$ che finalmente ci da il risultato -1/2
Ciao
Alexp
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