Risolvere questi due limiti destro e sinistro?
Salve, ho trovato questo esercizio sui limiti su internet e vorrei capire come fa trovarsi questi risultati.
Dopo aver detto che $ lim_(x -> pi^-) x^4=pi^4 $ ed il secondo è $ lim_(x -> pi^+) x^4=pi^4 $ l'esercizio dice, calcolare questi due limiti :
$ (df)/dx(pi^-)= lim_(x -> pi^-) (x^4-pi^4)/(x-pi) $ e dice che fa $ 4pi^3 $ .
Poi calcola il secondo limite, cioè :
$ (df)/dx(pi^+)= lim_(x -> pi^+) (x^4-pi^4)/(x-pi) $ e questa volta dice che fa $ -4pi^3 $.
E qui mi sorge il dubbio, perchè il primo limite viene $ 4pi^3 $, mentre l'altro $ -4pi^3 $?
Grazie a tutti in anticipo.
Dopo aver detto che $ lim_(x -> pi^-) x^4=pi^4 $ ed il secondo è $ lim_(x -> pi^+) x^4=pi^4 $ l'esercizio dice, calcolare questi due limiti :
$ (df)/dx(pi^-)= lim_(x -> pi^-) (x^4-pi^4)/(x-pi) $ e dice che fa $ 4pi^3 $ .
Poi calcola il secondo limite, cioè :
$ (df)/dx(pi^+)= lim_(x -> pi^+) (x^4-pi^4)/(x-pi) $ e questa volta dice che fa $ -4pi^3 $.
E qui mi sorge il dubbio, perchè il primo limite viene $ 4pi^3 $, mentre l'altro $ -4pi^3 $?
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
È sbagliato. Il limite è sempre $4\pi^3$, questo perché
$$x^4-\pi^4=(x^2+\pi^2)(x^2-\pi^2)=(x^2+\pi^2)(x+\pi)(x-\pi)$$
Quindi, per ogni $x \ne \pi$, è $\frac{x^4-\pi^4}{x-\pi}=(x+\pi)(x^2+\pi^2)$ e perciò
$$\lim_{x \to \pi} \frac{x^4-\pi^4}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi} (x+\pi)(x^2+\pi^2)=4\pi^3$$
Ciò significa che il limite è $4\pi^3$ sia per $x \to \pi^+$ che per $x \to \pi^-$.
Altra conferma la hai dal fatto che quel limite è, per definizione, la derivata di $x^4$ in $x=\pi$; la funzione $x^4$ è derivabile su tutto l'intervallo $[0,\infty)$ (volendo perché prodotto delle $4$ funzioni $x$ derivabili su tutto $[0,\infty)$) e debolmente crescente su $[0,\infty)$ (si dimostra anche senza l'uso delle derivate), quindi la sua derivata deve innanzitutto esistere in ogni punto di $[0,\infty)$ (quindi quel risultato non può essere giusto, perché significherebbe che il limite del rapporto incrementale non esiste in $x=\pi$) e poi tale derivata deve essere sempre non negativa in $[0,\infty)$ e perciò, in particolare, deve essere non negativa in $x=\pi$.
$$x^4-\pi^4=(x^2+\pi^2)(x^2-\pi^2)=(x^2+\pi^2)(x+\pi)(x-\pi)$$
Quindi, per ogni $x \ne \pi$, è $\frac{x^4-\pi^4}{x-\pi}=(x+\pi)(x^2+\pi^2)$ e perciò
$$\lim_{x \to \pi} \frac{x^4-\pi^4}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi} (x+\pi)(x^2+\pi^2)=4\pi^3$$
Ciò significa che il limite è $4\pi^3$ sia per $x \to \pi^+$ che per $x \to \pi^-$.
Altra conferma la hai dal fatto che quel limite è, per definizione, la derivata di $x^4$ in $x=\pi$; la funzione $x^4$ è derivabile su tutto l'intervallo $[0,\infty)$ (volendo perché prodotto delle $4$ funzioni $x$ derivabili su tutto $[0,\infty)$) e debolmente crescente su $[0,\infty)$ (si dimostra anche senza l'uso delle derivate), quindi la sua derivata deve innanzitutto esistere in ogni punto di $[0,\infty)$ (quindi quel risultato non può essere giusto, perché significherebbe che il limite del rapporto incrementale non esiste in $x=\pi$) e poi tale derivata deve essere sempre non negativa in $[0,\infty)$ e perciò, in particolare, deve essere non negativa in $x=\pi$.
Grazie mille Mephlip. Se invece avessi avuto che :
-$ f(pi^+)=lim_(x -> pi^+) x^4 = pi^4 $
- $ f(pi^-)=lim_(x -> pi^-) x^4 = pi^4 $
I limiti :
$ lim_(x -> pi^-) (x^4-f(pi^-))/(x-pi) $
$ lim_(x -> pi^+) (x^4-f(pi^+))/(x-pi) $
Darebbero gli stessi risultati che hai riportato prima?
-$ f(pi^+)=lim_(x -> pi^+) x^4 = pi^4 $
- $ f(pi^-)=lim_(x -> pi^-) x^4 = pi^4 $
I limiti :
$ lim_(x -> pi^-) (x^4-f(pi^-))/(x-pi) $
$ lim_(x -> pi^+) (x^4-f(pi^+))/(x-pi) $
Darebbero gli stessi risultati che hai riportato prima?
Prego! Ti direi di sì, ma non capisco il contesto. Nel senso: la funzione $f(x)=x^4$ è continua su tutto $\mathbb{R}$, quindi il suo limite coincide col valore della funzione nel punto. Quindi non ha molto senso usare quel simbolismo, appesantisce inutilmente la situazione e tanto vale scrivere $f(\pi)$. Ma per caso stai studiando le serie di Fourier? Perché quel simbolismo mi sembra provenire da quel contesto, in quel caso le funzioni vengono estese per periodicità e quindi potrebbe aver senso. Puoi riportare il link da cui stai prendendo gli esercizi, per favore?
Si Mephlip, sto studiando le serie di Fourier, adesso ti posto il link.
http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... ourier.pdf
E' l'esercizio d.
http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... ourier.pdf
E' l'esercizio d.
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