Risolvere l'integrale della seguente forma differenziale

[mazzy89-votailprof]

data la seguente forma differenziale:

$omega=x(2log(xy)+1)dx+x^2/ydy$

calcolare $int_(gamma) omega$ dove $gamma$ è la curca $(4+cost,3+2sint)$ con $t in [0,2pi]$

sono nuovo di questo argomento.abbiamo finito da poco il corso di analisi 2 e questo è stato l'ultimo argomento trattato perciò ancora sono molto impacciato.

per iniziare definisco dov'è definita la $omega$. essa è definita nel $1$ e $3$ quadrante escluso l'origine $(0,0)$

provo a vedere se è chiusa provando se le condizioni di simmetria sono soddisfatte. come si può calcolare $(delX)/(dely)=(delY)/(delx)$ segue quindi che la forma differenziale è chiusa. Purtroppo non ci troviamo in un insieme stellato.per provare allora che è esatta devo trovare una curva che racchiuda i punti singolari tale che $int_(gamma) omega=0$. Se trovo questa curva in cui è soddisfatta la precendente condizione allora posso certamente dire che la forma differenziale è esatta.

A questo punto blocco più totale.il problema è che non riesco a trovare la curva.ho provato con la circonferenza $(cost,sint)$ con $t in [0,2pi]$ putroppo però le cose si complicano non poco

[Omen1]

Nel tuo caso $gamma$ è interamente contenuta nel primo quadrante, quindi puoi sfruttare il fatto che, se $omega$ è chiusa, allora essa è localmente esatta, cioè esatta in ogni sottoinsieme stellato/semplicemnte connesso/convesso del suo dominio.

[mazzy89-votailprof]

"Omen":Nel tuo caso $gamma$ è interamente contenuta nel primo quadrante, quindi puoi sfruttare il fatto che, se $omega$ è chiusa, allora essa è localmente esatta, cioè esatta in ogni sottoinsieme stellato/semplicemnte connesso/convesso del suo dominio.

ah ok capito chiaro. il punto inziale e finale della curva sono rispettivamente $(5,3)$ e $(3,3)$ e quindi chiaramente la curva è contenuta nel primo quadrante.dato chei il primo quadrante è un sottinsieme stellato del dominio posso giungere alla conclusione che dato che è chiusa segue che è esatta

[mazzy89-votailprof]

A questo punto dopo aver dimostrato che la curva è esatta passo a calcolarmi il potenziale. successivamente mi calcolo l'integrale sapendo che se $omega$ è esatta vale la seguente formula:

$int_(gamma) omega=U(gamma(b))-U(gamma(a))$ dove $U$ è il potenziale di $omega$

[mazzy89-votailprof]

Allora mi chiedo: in presenza di insiemi non stellati che presentano quindi punti del dominio in cui la forma differenziale non è definita allora quest'ultima sarà esatta se la curva su cui si dovrà calcolare l'integrale è interamente contenuta in un sottoinsieme stellato del dominio non stellato. scusate il gioco di parole.esatto?

[Omen1]

Attenzione, una forma differenziale è esatta a prescindere dalla particolare curva su cui si vuole eventualmente calcolare l'integrale. Insomma, se la forma è chiusa, essa è esatta in ogni sottoinsieme stellato/semplicemente connesso/convesso del suo insieme di definizione, ma non, in generale, nella loro unione. Ad esempio, la forma da te postata è esatta nel primo e nel terzo quadrante (considerati separatamente) ma essa non è esatta nel complesso del suo dominio (l'unione del primo e del terzo quadrante), ne tanto meno in $RR^2$. Nel post precedente avevo fatto riferimento alla particolare curva di integrazione poichè si parlava di integrale curvilineo. Se difatti $gamma$ non fosse contenuta in uno solo dei due insiemi in cui $omega$ è esatta, ovviamente non avresti potuto applicare il teorema sulle forme esatte che hai citato prima.

[mazzy89-votailprof]

"Omen":Attenzione, una forma differenziale è esatta a prescindere dalla particolare curva su cui si vuole eventualmente calcolare l'integrale. Insomma, se la forma è chiusa, essa è esatta in ogni sottoinsieme stellato/semplicemente connesso/convesso del suo insieme di definizione, ma non, in generale, nella loro unione. Ad esempio, la forma da te postata è esatta nel primo e nel terzo quadrante (considerati separatamente) ma essa non è esatta nel complesso del suo dominio (l'unione del primo e del terzo quadrante), ne tanto meno in $RR^2$. Nel post precedente avevo fatto riferimento alla particolare curva di integrazione poichè si parlava di integrale curvilineo. Se difatti $gamma$ non fosse contenuta in uno solo dei due insiemi in cui $omega$ è esatta, ovviamente non avresti potuto applicare il teorema sulle forme esatte che hai citato prima.

quindi l'importante è che la curva sia interamente contenuta in un sottoinsieme del domino.

[enr87]

secondo me potevi incasinarti un po' di meno con le forme chiuse, e provare direttamente a vedere se c'era un potenziale associato alla forma differenziale (sfruttando quindi la definizione di forma esatta).

[mazzy89-votailprof]

"enr87":secondo me potevi incasinarti un po' di meno con le forme chiuse, e provare direttamente a vedere se c'era un potenziale associato alla forma differenziale (sfruttando quindi la definizione di forma esatta).

quindi intendi dire andare direttamente a calcoare un potenziale? ma prima di calcolare un potenziale non devo sapere che la forma differenziale è esatta?

[enr87]

forse ti hanno dato una definizione di forma esatta un po' diversa dalla mia (ma senz'altro equivalente): se sei in un insieme semplicemente connesso siamo d'accordo sul fatto che una forma differenziale è esatta se e solo se è chiusa, ma se ti trovi in un insieme non semplicemente connesso, allora detta $\omega = F_1dx_1 + F_2dx_2 +...+ F_ndx_n$ la forma differenziale continua associata ad F, questa è esatta se, per definizione, esiste una funzione di classe C1, che chiamiamo U (potenziale, in analogia con fisica) tale che $ \grad U = (F_1, F_2,..., F_n) $.
questo è detto un po' allo stato brado, nei testi si trova scritta meglio.
comunque ci sono due modi per trovare il potenziale, a te come hanno insegnato a fare?

PS: mica che per caso al tuo corso ti hanno fatto pure gli estremi vincolati? così potresti darmi una mano per una cosa..

[mazzy89-votailprof]

"enr87":forse ti hanno dato una definizione di forma esatta un po' diversa dalla mia (ma senz'altro equivalente): se sei in un insieme semplicemente connesso siamo d'accordo sul fatto che una forma differenziale è esatta se e solo se è chiusa, ma se ti trovi in un insieme non semplicemente connesso, allora detta $\omega = F_1dx_1 + F_2dx_2 +...+ F_ndx_n$ la forma differenziale continua associata ad F, questa è esatta se, per definizione, esiste una funzione di classe C1, che chiamiamo U (potenziale, in analogia con fisica) tale che $ \grad U = (F_1, F_2,..., F_n) $.
questo è detto un po' allo stato brado, nei testi si trova scritta meglio.
comunque ci sono due modi per trovare il potenziale, a te come hanno insegnato a fare?

PS: mica che per caso al tuo corso ti hanno fatto pure gli estremi vincolati? così potresti darmi una mano per una cosa..

Allora la definizione data da te coincide con la mia.anche se è detta allo stato brado è molto chiara. per calcolarmi il potenziale data la la forma differenziale $omega=Xdx+Ydy$ considero $X$ oppure $Y$. So che $U_x=X$ quindi $U=int Xdx + g(y)$. A questo punto derivo $U$ rispetto a $y$ e ricavo $U_y=[intXdx]dy+g^{\prime}(y)$. Pongo $U_y=Y$ e ricavo $g^{\prime}(y)$ che integrato restituisce $g(y)$ che posso sostituire all'espressione inziale di $U$. Questo è il metodo che mi hanno dato per il calcolo del potenziale

[Omen1]

"mazzy89":quindi l'importante è che la curva sia interamente contenuta in un sottoinsieme del domino.

esatto

[enr87]

"mazzy89":
Allora la definizione data da te coincide con la mia.anche se è detta allo stato brado è molto chiara. per calcolarmi il potenziale data la la forma differenziale $omega=Xdx+Ydy$ considero $X$ oppure $Y$. So che $U_x=X$ quindi $U=int Xdx + g(y)$. A questo punto derivo $U$ rispetto a $y$ e ricavo $U_y=[intXdx]dy+g^{\prime}(y)$. Pongo $U_y=Y$ e ricavo $g^{\prime}(y)$ che integrato restituisce $g(y)$ che posso sostituire all'espressione inziale di $U$. Questo è il metodo che mi hanno dato per il calcolo del potenziale

forse ti sei espresso un po' male.. quando derivi rispetto a y fai $U_y = D_y (intXdx)+g^{\prime}(y)$ e la poni uguale a Y. nota che g deve essere funzione unicamente di y (o eventualmente deve essere costante), altrimenti non hai un potenziale