Risolvere limite che tende a zero

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio:

si calcoli, se esiste, attraverso l'uso dei limiti notevoli, il seguente limite:

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\left ( e^{x}-1-log\left ( 1+\sqrt{\frac{x}{x+1}} \right ) \right )\cdot tan\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )[/math]

allora ho iniziato moltiplicando e dividendo il primo fattore per

[math]\sqrt{\frac{x}{x+1}}[/math]

, ottenendo:

[math]lim_{x\rightarrow 0}\left ( e^{x}-1-log\left ( \frac{1+\sqrt{\frac{x}{x+1}}}{\sqrt{\frac{x}{x+1}}} \right )\cdot \sqrt{\frac{x}{x+1}} \right )\cdot tan\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )[/math]

ora non so più come continuare...
se devo considerare sia il limite che tende a zero da destra e sia quello da sinistra..
se mi potete aiutare...
grazie..

[ciampax]

L'idea è buona ma è applicata male. Scriviamo quello che c'è tra parentesi:

[math]\left[e^x-1-\log\left(1+\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right)\right]=\left[\frac{e^x-1}{x}\cdot x-\frac{\log\left(1+\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right)}{\sqrt{\frac{x}{x+1}}}\cdot\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right][/math]

Osserviamo che possiamo applicare i due limiti notevoli

[math]\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1\qquad \lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1[/math]

e quindi scrivere il limite come

[math]\lim_{x\to 0}\left[x-\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right]\cdot\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/math]

Ora il limite è stato ricondotto ad una forma indeterminata

[math]0\cdot \infty[/math]

. Per prima cosa, possiamo scrivere la tangente in questo modo:

[math]\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{\sin(\pi/2-x)}{\cos(\pi/2-x)}=\frac{\cos x}{\sin x}[/math]

e quindi passando al limite

[math]\lim_{x\to 0}\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}[/math]

usando il limite notevole del seno e il fatto che coseno di zero vale 1.
Pertanto il limite originale diventa

[math]\lim_{x\to 0}\left[x-\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right]\cdot\frac{1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x\sqrt{x+1}}=[/math]

raccogliendo

[math]\sqrt{x}[/math]

a numeratore

[math]=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}\sqrt{x+1}-1\right)}{x\sqrt{x+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=\\ \lim_{x\to 0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\right)=-\infty[/math]

[insule23]

Ok.. Una domanda perchè hai riscritto
la tangente in tal modo...
C'è qualche regola che mi sfugge...
Fammi sapere..
Grazie..

[ciampax]

La tangente si scrive come seno fratto coseno. poi ho applicato le relazioni degli archi complementari.

[insule23]

ok..grazie mille