Risolvere limite che tende a zero

[ivandimeo]

salve avrei un aiuto su come svolgere questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite
$\lim_{x \to 0 }\frac{log ( cosx )}{| sin^{3}x |}+sin ( e^{\frac{1}{x}} )$

io ho cominciato riscrivendolo come
$\lim_{x \to 0 }\frac{log ( cosx )}{| sin^{3}x |}+\lim_{x \to 0 }sin ( e^{\frac{1}{x}} )$

abbiamo che il primo limite si presenta nella forma indeterminata $0/0$
quindi aggiungo e sottraggo 1 al coseno,e divido per x al numeratore e ottendo:
$\lim_{x \to 0 }\frac{log [ ( cosx-1 )+1 ]}{ |( \frac{sinx}{x} \cdot x\ )^{3} |}$


mi sono bloccato qui..
non sò come andare avanti..
se mi potete aiutare a continuare..

grazie

[Seneca1]

In realtà non puoi spezzare quel limite, dato che il secondo dei due che hai scritto non esiste. Non c'è nessun teorema che,a priori, ti dia la possibilità di farlo. L'idea è questa: $\sin( e^(1/x))$ è una funzione limitata e quindi viene "mangiata" dal termine $(log(\cos(x)))/(| sin^3 x|)$ essendo $\lim_{x \to 0} (log(\cos(x)))/(| sin^3 x|) = - \infty$.

Scrivendo $\log( 1 + ( \cos(x) - 1))$ ti accorgi immediatamente che, per $x \to 0$, il numeratore è un infinitesimo dello stesso ordine di $\cos(x) - 1$, cioè dello stesso ordine di $x^2$. Il denominatore è un infinitesimo di ordine superiore e quindi il rapporto, al tendere di $x$ a $0$, diverge in valore assoluto.

[ivandimeo]

scusa ma non ho capito bene..
mi potresti spiegare meglio..
grazie..

[Seneca1]

"ivandimeo":$\lim_{x \to 0 }\frac{log ( cosx )}{| sin^{3}x |}+sin ( e^{\frac{1}{x}} )$
io ho cominciato riscrivendolo come
$\lim_{x \to 0 }\frac{log ( cosx )}{| sin^{3}x |}+\lim_{x \to 0 }sin ( e^{\frac{1}{x}} )$

Questo è sbagliato.

1. \( \frac{\log ( \cos x )}{| \sin^{3}x |} \to - \infty\) : infatti
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\log ( 1 + ( \cos x - 1 ) )}{| \sin^{3}x |} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\log ( 1 + ( \cos x - 1 ) )}{\cos x - 1}}{ \frac{\sin^{3}x }{x^3} } \frac{\cos(x) - 1}{|x^3|} = - \infty \;.\]

2. Siccome
\[ \frac{\log ( \cos x )}{| \sin^{3}x |}+\sin ( e^{\frac{1}{x}} ) \le \frac{\log ( \cos x )}{| \sin^{3}x |} + 1\]
per un teorema sui limiti sai che
\[ \frac{\log ( \cos x )}{| \sin^{3}x |}+\sin ( e^{\frac{1}{x}} ) \to - \infty \;.\]