Risolvere limite che tende a infinito
salve avrei delle difficoltà nel risolvere questo limite
Si calcoli ,se esiste ,attraverso l'uso dei limiti notevoli, e con relativi passaggi e spiegazioni, il seguente limite:
$\lim_{x \to +\infty } ( e^{sin\frac{1}{\sqrt{x}}} -1 )\frac{x^{3}-cosx+2x\, sinx}{xe^{x}-4}\, 2^{x}$
allora io ho provato considerando il secondo fattore ovvero
$\frac{x^{3}-cosx+2x\, sinx}{xe^{x}-4}$
raccogliendo al numeratore e al denominatore la potenza di x che in essi ha il massimo esponente ottenendo:
$\frac{x^{3} ( 1-\frac{cosx}{x^{3}}+\frac{2xsenx}{x^{3}} )}{xe^{x} ( 1- \frac{4}{xe^{x}} )} $
$\rightarrow \frac{x^{3} ( 1-\frac{cosx}{x^{3}}+\frac{2senx}{x^{2}} )}{xe^{x}( 1- \frac{4}{xe^{x}} )} $
ora però mi sono bloccata e non riesco a proseguire..
per gli atri fattori come
$ ( e^{sin\frac{1}{\sqrt{x}}} -1 )$
e
$2^{x}$
cosa devo fare..
spero che mi possiate aiutare...
grazie..
Si calcoli ,se esiste ,attraverso l'uso dei limiti notevoli, e con relativi passaggi e spiegazioni, il seguente limite:
$\lim_{x \to +\infty } ( e^{sin\frac{1}{\sqrt{x}}} -1 )\frac{x^{3}-cosx+2x\, sinx}{xe^{x}-4}\, 2^{x}$
allora io ho provato considerando il secondo fattore ovvero
$\frac{x^{3}-cosx+2x\, sinx}{xe^{x}-4}$
raccogliendo al numeratore e al denominatore la potenza di x che in essi ha il massimo esponente ottenendo:
$\frac{x^{3} ( 1-\frac{cosx}{x^{3}}+\frac{2xsenx}{x^{3}} )}{xe^{x} ( 1- \frac{4}{xe^{x}} )} $
$\rightarrow \frac{x^{3} ( 1-\frac{cosx}{x^{3}}+\frac{2senx}{x^{2}} )}{xe^{x}( 1- \frac{4}{xe^{x}} )} $
ora però mi sono bloccata e non riesco a proseguire..
per gli atri fattori come
$ ( e^{sin\frac{1}{\sqrt{x}}} -1 )$
e
$2^{x}$
cosa devo fare..
spero che mi possiate aiutare...
grazie..
Risposte
Dal momento che $x\to+\infty$, è immediato vedere che $4/{x e^x}\to 0$ e ${\cos x}/x^3\to 0,\ {\sin x}/x^2\to 0$ (perché?), e quindi il termine centrale si riconduce a $x^2/e^x$. Per quanto riguarda il primo, dovresti sapere che se $t\to 0$
$$\sin t\sim t,\qquad e^t-1\sim t$$
asintoticamente. Riesci a concludere adesso?
$$\sin t\sim t,\qquad e^t-1\sim t$$
asintoticamente. Riesci a concludere adesso?
mmm, allora, è giusto considerare per primo il fattore $\frac{x^{3}-cosx+2x\, sinx}{xe^{x}-4}$ il quale, come hai detto tu, diventa $\frac{x^{3} ( 1-\frac{cosx}{x^{3}}+\frac{2senx}{x^{2}} )}{xe^{x}( 1- \frac{4}{xe^{x}} )}$.
Ora però considera questo: i termini $cos x/x^3$, $(2sinx)/x^2$ e $4/(xe^x)$ tendono a 0 quando $x->+infty$, perciò quella frazione è asintotica a $x^3 / (xe^x)$ e quindi a $x^2/e^x$. Lasciamola un momento così e vediamo gli altri termini.
il termine $ e^sin(1/sqrt(x)) -1 $ si risolve con un paio di limiti notevoli: osserva che $1/sqrt(x) -> 0 x->+infty$, pertanto $sin(1/sqrt(x)) - 1 -> 1/sqrt(x)$ ed allo stesso modo $e^(1/sqrt(x)) - 1 -> 1/sqrt(x)$.
Così trasformato, il limite diventa $ lim_(x -> +infty) 1/sqrt(x) x^2/e^x 2^x $, quindi riordinando alla fine avrò $ lim_(x -> +infty) x^(3/2) (2/e)^x $ che fa 0 visto che $0 < 2/e < 1$
Ora però considera questo: i termini $cos x/x^3$, $(2sinx)/x^2$ e $4/(xe^x)$ tendono a 0 quando $x->+infty$, perciò quella frazione è asintotica a $x^3 / (xe^x)$ e quindi a $x^2/e^x$. Lasciamola un momento così e vediamo gli altri termini.
il termine $ e^sin(1/sqrt(x)) -1 $ si risolve con un paio di limiti notevoli: osserva che $1/sqrt(x) -> 0 x->+infty$, pertanto $sin(1/sqrt(x)) - 1 -> 1/sqrt(x)$ ed allo stesso modo $e^(1/sqrt(x)) - 1 -> 1/sqrt(x)$.
Così trasformato, il limite diventa $ lim_(x -> +infty) 1/sqrt(x) x^2/e^x 2^x $, quindi riordinando alla fine avrò $ lim_(x -> +infty) x^(3/2) (2/e)^x $ che fa 0 visto che $0 < 2/e < 1$
scusate ma non ho capito del tutto...
avrei delle domande da chiedervi...
innanzitutto perchè $cosx/x^3$, $(2sinx)/x^2$ e $4/(xe^x)$ tendono a 0 quando $x→+∞$;
e poi non riesco a capire come risolvere gli altri fattori...
se mi potete aiutare..
grazie..
avrei delle domande da chiedervi...
innanzitutto perchè $cosx/x^3$, $(2sinx)/x^2$ e $4/(xe^x)$ tendono a 0 quando $x→+∞$;
e poi non riesco a capire come risolvere gli altri fattori...
se mi potete aiutare..
grazie..
ah scusami, pensavo fosse chiaro.
Partiamo dall'assunto che $n/x -> 0$ se $x->+infty$ e $ n in RR$, e siccome $e^x ->+infty$ se $x->+infty$, ecco che $4/(xe^x) -> 0$. Niente di strano, è che hai al denominatore quantità che vanno a $+infty$ ed al numeratore un numero.
Per sin e cos la faccenda sembra più complicata ma in realtà è molto semplice: sin e cos sono funzioni limitate nell'intervallo [-1, 1], ovvero cosx e sinx assumono valori sempre più grandi di -1 e più piccoli di 1. perciò, in tutti i casi tranne quando valgono 0, hai la stessa situazione del caso di prima, cioè un numero fratto un infinito, e quindi il lim vale 0.
Del resto, quando sin o cos valgono 0, hai una forma al limite del tipo $0/(+infty)$... in altre parole hai $0 * 1/(+infty)$, cioè $0*0$... quindi in tutti i casi il limite vale sempre e soltanto 0.
Partiamo dall'assunto che $n/x -> 0$ se $x->+infty$ e $ n in RR$, e siccome $e^x ->+infty$ se $x->+infty$, ecco che $4/(xe^x) -> 0$. Niente di strano, è che hai al denominatore quantità che vanno a $+infty$ ed al numeratore un numero.
Per sin e cos la faccenda sembra più complicata ma in realtà è molto semplice: sin e cos sono funzioni limitate nell'intervallo [-1, 1], ovvero cosx e sinx assumono valori sempre più grandi di -1 e più piccoli di 1. perciò, in tutti i casi tranne quando valgono 0, hai la stessa situazione del caso di prima, cioè un numero fratto un infinito, e quindi il lim vale 0.
Del resto, quando sin o cos valgono 0, hai una forma al limite del tipo $0/(+infty)$... in altre parole hai $0 * 1/(+infty)$, cioè $0*0$... quindi in tutti i casi il limite vale sempre e soltanto 0.
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