Risolvere limite applicando la definizione: dove sbaglio?

[Tarab1]

Buon giorno,
sto risolvendo, applicando la definizone, alcuni esercizi di limiti.
Ad esempio, dato un esercizio del tipo:
Utilizzando la definizione di limite verificare che $ lim_(x rarr oo) $ $ n/(n+1) = 1 $

Io procedo in questo modo:

$ AA cc(E) > 0, EE cc(v): |a_n - 1/2| < cc(E) $
quindi
$ 5/[2(2n+5)] < cc(E) =>n > 5/(4cc(E)) - 5/2 $ dove $ cc(v) = 5/(4cc(E)) - 5/2 => n>cc(v)

Invece, sulle dispense del prof, viene adottato questo procedimento:

$ AA cc(E)> 0 EE del_cc(E)> 0 $ tale che $ AA n >del_n $ si ha $ 1-cc(E) < n/(n+1) < 1+cc(E) $

quindi ottiene un sistema

$ {(n/(n+1) < 1+cc(E)),(n/(n+1) > 1-cc(E)):} $

e ottiene (credo dalla prima riga)

$ S_1 = NN $

e poi andando avanti

$ n>(n+1)(1-cc(E)) => n>(1-cc(E))/cc(E) $

e quindi

$ S_2 = {((1-cc(E))/cc(E)), +oo) nn NN $

A questo punto viene scelta la soluzione $ S = S_2 $ verificando che $ EE S_cc(E) > 0 : (S_cc(E), + oo) nn NN sube S $

Sinceramente non ho capito perchè abbia scelto la soluzione 2;

[doremifa1]

Ha semplicemente applicato la definizione di limite di successione:
Diremo che $lim_(n rarr oo) a_(n)=a$ se $ AA cc(E)>0, EE delta in NN : |a_(n)-a|delta $ dove
$|a_(n)-a|

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[Tarab1]

Si, ma non ho capito perchè tra le varie soluzioni $ S_cc(E) $ ha scelto la seconda?

[roby92100]

"Tarab":Si, ma non ho capito perchè tra le varie soluzioni $ S_cc(E) $ ha scelto la seconda?

xk doveva semplicemente dimostrare che x una delle due soluzione ottenevamo un intorno di piu infinito visto che il limite era x n che tende a piu infinito...la prima nn soddisfaceva quello che cercavamo invece la seconda si

[Tarab1]

A parte che ci ho messo un po' a decifrare il tuo messaggio (più che altro a capire quando la "x" significava una incognita matematica e quando invece significava "per") ..... ma sei sicuro/a che sia sempre cos'?
Perchè c'erano anche altri esercizi in cui sceglieva una soluzione negativa, avendo un $ x_0 -> +oo $

[roby92100]

"Tarab":A parte che ci ho messo un po' a decifrare il tuo messaggio (più che altro a capire quando la "x" significava una incognita matematica e quando invece significava "per") ..... ma sei sicuro/a che sia sempre cos'?
Perchè c'erano anche altri esercizi in cui sceglieva una soluzione negativa, avendo un $ x_0 -> +oo $

non è questione di soluzioni negative....la definizione di limite della nostra successione si deve verificare per ogni Delta(epslon) maggiore di zero....quindi se svolgi qualke calcolo noterai che la seconda soluzione ci porta un n che deve essere maggiore di una quantita dipendente da epslon...e potendo scegliere questo epslon piccolo quanto lo vogliamo se x es fosse minore di uno allora disequazione sarebbe n maggiore di una quantità positiva: significato? che la definizione di limite è veriicata x ogni n maggiore di quella quantita (che sarebbe delta epslon!)....mentre se riprendi la prima disequazione otterrai come delta epslon una quantità che sarà sempre negativa per qualunque epslon scegliamo.... mi dispiace di essere stato poco chiaro ma non ho tempo di scrivere in formule

[Tarab1]

Ok, questo l'ho capito.
Però il mio dubbio è: nel caso di due soluzioni con $ n> S $ quale n devo scegliere?

[roby92100]

"Tarab":Ok, questo l'ho capito.
Però il mio dubbio è: nel caso di due soluzioni con $ n> S $ quale n devo scegliere?

se posti un esempio ne possiamo parlare xk raramente ho verificato i limiti cosi e quindi nn mi è capitata mai davanti una situazione come quella da te enunciata...
in ogni caso penso che la soluzione sia proprio cm avviene dei sistemi di disequazioni... cioè x uno stesso valore di epslon ti fai lo skemino con le linee piene dove la disequazione è soddisfatta e poi prendi cm soluzione comune alle due disequazioni quella dove le hai contemporaneamente..hai capito a quale schemino mi riferisco?

[Tarab1]

Si ho capito la questione dello schiemino.
Allora più tardi vedo di postare un esempio risolto dal mio prof, con l'utilizzo delle formule così è più facile da leggere.
A più tardi.
Grazie.