Risolvere limite
ciao a tutti, anche oggi ho un problema con questo limite credo banale per molti, qualcuno potrebbe darmi una mano a risolverlo ? grazie in anticipo, il limite è questo :
$ lim_(x->0) 1/x (root(3)(1+x)-root(3)(1-x))$
$ lim_(x->0) 1/x (root(3)(1+x)-root(3)(1-x))$
Risposte
Lo sviluppo di Mclaurin al primo ordine è sufficiente:
$lim_(x->0) 1/x(1+1/3x-1+1/3x+o(x))$
$lim_(x->0) 1/x(2/3x+o(x))$
$lim_(x->0) 2/3+o(1)=2/3$
$lim_(x->0) 1/x(1+1/3x-1+1/3x+o(x))$
$lim_(x->0) 1/x(2/3x+o(x))$
$lim_(x->0) 2/3+o(1)=2/3$
troppo facile così 
, è un limite proposto tra i primi esercizi sui limiti nel mio libro di testo, molto prima di trattare derivate e gli sviluppi in serie pensavo si potesse risolvere con qualche elementare manipolazione algebrica che naturalmente non sono in grado di fare
, è un limite proposto tra i primi esercizi sui limiti nel mio libro di testo, molto prima di trattare derivate e gli sviluppi in serie pensavo si potesse risolvere con qualche elementare manipolazione algebrica che naturalmente non sono in grado di fare
Ahhh e dillo no!
Prova a moltiplicare e dividere per $(root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$, è la tecnica standard in questi casi
Prova a moltiplicare e dividere per $(root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$, è la tecnica standard in questi casi
credo di averlo già fatto e di aver fatto un casotto, ora prendo il foglio e posto i passaggi.
ecco i miei passaggi :
$1/x(root(3)(1+x)-root(3)(1-x)) (root(3)(1+x)+root(3)(1-x)) /(root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$ da cui $1/x ((root(3)(1+x))^2-(root(3)(1-x))^2)/(root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$ facendo la differenza di 2 quadrati
$1/x ( (root(3)(1+x)-root(3)(1-x)) (root(3)(1+x)+root(3)(1-x)) )/ (root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$ e semplificando sono ritornato
alla scrittura iniziale $1/x(root(3)(1+x)-root(3)(1-x))$ ...
$1/x(root(3)(1+x)-root(3)(1-x)) (root(3)(1+x)+root(3)(1-x)) /(root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$ da cui $1/x ((root(3)(1+x))^2-(root(3)(1-x))^2)/(root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$ facendo la differenza di 2 quadrati
$1/x ( (root(3)(1+x)-root(3)(1-x)) (root(3)(1+x)+root(3)(1-x)) )/ (root(3)(1+x)+root(3)(1-x))$ e semplificando sono ritornato
alla scrittura iniziale $1/x(root(3)(1+x)-root(3)(1-x))$ ...
Beh, è normale...
Infatti, per semplificare le radici devi elevarle al cubo, sicché devi moltiplicare e dividere per qualcosa che ricordi la scomposizione della differenza di due cubi (e non la differenza di due quadrati, come erroneamente suggerito sopra).
Ricordando che:
\[
a^3-b^3=(a-b)\ (a^2+ab+b^2)
\]
e prendendo \(a=\sqrt[3]{1+x}\), \(b=\sqrt[3]{1-x}\), hai:
\[
\left( \sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x} \right)\ \left( (\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2\right) = (1+x) - (1-x) = 2x
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ \left( \sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}\right) &= \lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ \frac{\left( \sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}\right)\ \left( (\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2\right)}{(\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2}\\
&= \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cancel{x}}\ \frac{2\cancel{x}}{(\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2}
\end{split}
\]
e l'ultimo limite si calcola senza ulteriori spargimenti di sangue...
Infatti, per semplificare le radici devi elevarle al cubo, sicché devi moltiplicare e dividere per qualcosa che ricordi la scomposizione della differenza di due cubi (e non la differenza di due quadrati, come erroneamente suggerito sopra).
Ricordando che:
\[
a^3-b^3=(a-b)\ (a^2+ab+b^2)
\]
e prendendo \(a=\sqrt[3]{1+x}\), \(b=\sqrt[3]{1-x}\), hai:
\[
\left( \sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x} \right)\ \left( (\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2\right) = (1+x) - (1-x) = 2x
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ \left( \sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}\right) &= \lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ \frac{\left( \sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}\right)\ \left( (\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2\right)}{(\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2}\\
&= \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cancel{x}}\ \frac{2\cancel{x}}{(\sqrt[3]{1+x})^2 + \sqrt[3]{1+x}\sqrt[3]{1-x} + (\sqrt[3]{1-x})^2}
\end{split}
\]
e l'ultimo limite si calcola senza ulteriori spargimenti di sangue...
wo..grazie mille dell'aiuto, me l'aspettavo molto meno "algebrico" !
Beh, francamente, non vedo nulla di "algebrico" o di "avanzato" in questo esercizio.
La scomposizione della differenza di cubi è nota dal secondo/terzo anno della scuola secondaria... Basta solo sapere come sfruttarla.
La scomposizione della differenza di cubi è nota dal secondo/terzo anno della scuola secondaria... Basta solo sapere come sfruttarla.
"gugo82":
...differenza di due cubi (e non la differenza di due quadrati, come erroneamente suggerito sopra).
Credo che il suggerimento errato sia dovuto al fatto che le radici terze non si leggono molto bene (in effetti sembrano radici quadrate, deve esserci un problema legata alla visualizzazione del codice).
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