Risolvere $ lim_((x,y) ->(0,0)) ((x^2+y^2)^(x^2+y^2)-1)/(x^2+y^2) $

[spifabio]

Buongiorno!
Il limite in esame è questo:

$ lim_((x,y) ->(0,0)) ((x^2+y^2)^(x^2+y^2)-1)/(x^2+y^2) $

Ho gia visto che il risultato è $ - oo $

Spezzandolo ottengo:
$ lim_((x,y) ->(0,0)) ((x^2+y^2)^(x^2+y^2))/(x^2+y^2) -(1)/(x^2+y^2) $

La seconda parte fa $ -oo $ mentre la prima dovrebbe essere qualcosa di limitato o qualcosa che va anche lei a $ -oo$... il problema è che nn riesco a dimostrarlo.
C'è qualcuno che riesce ad illuminarmi?
Grazie anticipatamente

[Noisemaker]

poni $x^2+y^2=t$, e calcola
\[\lim_{t\to0}\frac{t^t-1}{t} \]

[spifabio]

Ti ringrazio del suggerimento Noisemaker, a dire la verità ci ho anche pensato a fare questo, visto che la funzione presenta una simmetria radiale, ma il mio problema non è questo, in realtà io vorrei sapere come fare a dimostrare che$lim_((x,y) ->(0,0)) (x^2+y^2)^(x^2+y^2)=1$ e non solo vorrei dire che tende ad 1 ma è anche sempre minore di 1

[Noisemaker]

per dimostrare quel risultato basta calcolare, ad esempio in polari,
\[\lim_{\rho\to0}\rho^\rho\]

[spifabio]

allora ho provato a calcolare tutto il limite in coordinate polari. Mi diventa:

$ lim_((rho) ->(0)) (rho^2 (cos^2+sen^2)^(rho^2(cos^2+sen^2))-1)/(rho^2(cos^2+sen^2) )=lim_((rho) ->(0)) (rho^2 1^(rho^2)-1)/(rho^2 )=lim_((rho) ->(0)) (rho^2 1^(rho^2))/rho^2 -1/rho^2 =$
$=lim_((rho) ->(0)) 1^(rho^2) -1/(rho^2) = 0 - oo = - oo$

Ho dimenticato di scrivere gli argomenti del seno e de coseno ma penso che ci siamo capiti. VA bene come ho fatto?

[Noisemaker]

i passaggi non vanno molto bene ... in generale , quando hai un limite del tipo
\[\lim_{x\to0} x^x \]
sei difronte ad una forma indeterminata $0^0,$ e ti conviene passare alla forma esponenziale:
\[\lim_{x\to0} e^{x\ln x}; \]
quindi nel tuo caso:
\[\lim_{\rho\to0} \frac{\left(\rho^2 (\cos^2\vartheta+sen^2\vartheta)\right)^{\rho^2(cos^2\vartheta+sen^2\vartheta)}-1}{\rho^2(cos^2\vartheta+sen^2\vartheta)}=\lim_{\rho\to0} \frac{\left(\rho^2 \right)^{\rho^2 }-1}{\rho^2} =\lim_{\rho\to0} \frac{e^{\rho^2\ln\left(\rho^2 \right)} -1}{\rho^2}... \]

[spifabio]

Ti ringrazio della pazienza Noisemaker, ma non riesco a capire una cosa: ora che siamo passati alla forma esponenziale $lim_(rho->0) (e^(rho^(2)ln(rho^2))-1)/rho^2$ non ci troviamo di fronte a una forma indeterminata anche in questo caso?
Cioè $e^(rho^(2)ln(rho^2))$ dato che $lim_(rho->0) ln( rho^2)=-oo$non è una forma indeterminata $0 (-oo)$ li sopra all'esponente ??? Perdonate la banalità delle mie domande ma sono alle prime armi.

[Noisemaker]

si be è certamente una forma indeterminata, ma da Analisi 1 quello è quasi un limite notevole:
\[\lim_{x\to0^+}x\ln x =\lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\stackrel{\bf(H)}{=}\lim_{x\to0^+} - \frac{1}{x}\cdot x^2 =0.
\]

[spifabio]

TI RINGRAZIO!!! Era la risposta di cui avevo bisogno!