Risolvere la seguente equazione...
\(\displaystyle z^4 + \frac{1}{2} = |z^2| + \frac{5}{2} \)
In questo caso la fattorizzazione del polinomio non c'entra nulla? si risolve trovando il delta e poi?
In questo caso la fattorizzazione del polinomio non c'entra nulla? si risolve trovando il delta e poi?
Risposte
il delta è positivo e le soluzioni reali sono \(\displaystyle + \sqrt{2} \) e \(\displaystyle - \sqrt{2} \) quelle complesse come si trovano? ho \(\displaystyle z= + \sqrt{-1} \) e \(\displaystyle z= - \sqrt{-1} \)
L'equazione è $z^4=|z|^2+2$, dunque $|z|^4-|z|^2-2=0$: questo ti da $|z|$. Per l'argomento, sai che $z^4$ è un reale positivo.
comunque le soluzioni complesse sarebbero:
\(\displaystyle i \sqrt{2} \) e \(\displaystyle -i \sqrt{2}\) perchè? con capisco cosa vuoi dire e come si procede...
\(\displaystyle i \sqrt{2} \) e \(\displaystyle -i \sqrt{2}\) perchè? con capisco cosa vuoi dire e come si procede...
@girdav:
Non mi risulta che il valore assoluto sia una funzione additiva... Quindi, a meno di fare qualche considerazione preliminare, questo passaggio è errato.
@davidedesantis: Mi preme farti notare che \(z^4-|z|^2-2\) non è un polinomio, ergo non puoi fattorizzare nulla.
Ad ogni modo, si può risolvere così.
Abbiamo \(z^4=|z|^2+2\), sicché \(z^4\) è un numero reale positivo e perciò \(\text{Arg} (z^4)=0\); dalla formula per l'argomento della potenza ricaviamo \(\operatorname{Arg}(z^4)\equiv 2\operatorname{Arg} (z^2)\ \mod 2\pi\), ergo:
\[
\operatorname{Arg} (z^2)=0\quad \text{oppure}\quad \operatorname{Arg} (z^2)=\pi
\]
perciò anche \(z^2\) è reale (positivo o negativo); ma allora, posto \(z^2=t\in \mathbb{R}\), l'equazione si riscrive \(t^2=t+2\), ossia \(t^2-t-2=0\); le soluzioni di tale equazione sono \(t=\pm 2\); ciò importa che le soluzioni \(z\) dell'equazione sono le radici quadrate complesse di \(\pm 2\), cioè \(\pm \sqrt{2}\) e \(\pm \imath\ \sqrt{2}\)*.
__________
* [size=85]Che \(z\) dovesse essere o reale o è immaginario puro lo si poteva dire sfruttando il fatto che \(\operatorname{Arg}(z^4)\equiv 4\operatorname{Arg} (z)\ \mod 2\pi\). Infatti le possibilità
\[
\operatorname{Arg} (z) =0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi ,\ \frac{3\pi}{2}
\]
sarebbero state le uniche possibili affinché \(\operatorname{Arg} (z)\) potesse soddisfare la congruenza \(\operatorname{Arg}(z^4)\equiv 4\operatorname{Arg} (z)\ \mod 2\pi\).[/size]
"girdav":
L'equazione è $z^4=|z|^2+2$, dunque $|z|^4-|z|^2-2=0$ [...]
Non mi risulta che il valore assoluto sia una funzione additiva... Quindi, a meno di fare qualche considerazione preliminare, questo passaggio è errato.
@davidedesantis: Mi preme farti notare che \(z^4-|z|^2-2\) non è un polinomio, ergo non puoi fattorizzare nulla.
Ad ogni modo, si può risolvere così.
Abbiamo \(z^4=|z|^2+2\), sicché \(z^4\) è un numero reale positivo e perciò \(\text{Arg} (z^4)=0\); dalla formula per l'argomento della potenza ricaviamo \(\operatorname{Arg}(z^4)\equiv 2\operatorname{Arg} (z^2)\ \mod 2\pi\), ergo:
\[
\operatorname{Arg} (z^2)=0\quad \text{oppure}\quad \operatorname{Arg} (z^2)=\pi
\]
perciò anche \(z^2\) è reale (positivo o negativo); ma allora, posto \(z^2=t\in \mathbb{R}\), l'equazione si riscrive \(t^2=t+2\), ossia \(t^2-t-2=0\); le soluzioni di tale equazione sono \(t=\pm 2\); ciò importa che le soluzioni \(z\) dell'equazione sono le radici quadrate complesse di \(\pm 2\), cioè \(\pm \sqrt{2}\) e \(\pm \imath\ \sqrt{2}\)*.
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* [size=85]Che \(z\) dovesse essere o reale o è immaginario puro lo si poteva dire sfruttando il fatto che \(\operatorname{Arg}(z^4)\equiv 4\operatorname{Arg} (z)\ \mod 2\pi\). Infatti le possibilità
\[
\operatorname{Arg} (z) =0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi ,\ \frac{3\pi}{2}
\]
sarebbero state le uniche possibili affinché \(\operatorname{Arg} (z)\) potesse soddisfare la congruenza \(\operatorname{Arg}(z^4)\equiv 4\operatorname{Arg} (z)\ \mod 2\pi\).[/size]
"gugo82":
@girdav:
[quote="girdav"]L'equazione è $z^4=|z|^2+2$, dunque $|z|^4-|z|^2-2=0$ [...]
Non mi risulta che il valore assoluto sia una funzione additiva... Quindi, a meno di fare qualche considerazione preliminare, questo passaggio è errato.
[/quote]
Non è errato, perché $|z|^4=||z|^2+2|$ e quello che è nel $|\cdot|$ è positivo, dunque $|z|^4=|z|^2+2$.
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