Risolvere la seguente diseguaglianza

[Knut1]

Buonasera a tutti.

Chiedo gentilemente il vostro aiuto per risolvere la seguente diseguaglianza, sempre che sia possibile farlo.

$(a^2 (1+c))/(2(3+2c)^2) >= (a^2 (1+c))/(4+2c)^2$

Per quali valori di $c$ è vera?


Grazie per l'aiuto.

[Steven11]

$a^2$ puoi toglierlo senza problemi a destra e sinistra, visto che è una quantità non negativa.

Ti resta una disequazione in $c$.
Tieni conto che i quadrati al denominatore puoi portarli dall'altro membro senza problemi, visto che sono quantità positive (il caso in cui sono nulli devi escluderlo all'inizio con le condizioni d'esistenza).

[Samy211]

E' possibile che i valori richiesti di $s$ siano $-1+- sqrt(2)/2$ ?


P.S: Scusate l'intromissione ma sono curiosa

[Steven11]

"Samy21":E' possibile che i valori richiesti di $s$ siano $-1+- sqrt(2)/2$ ?

Quella è una disequazione, e il risultato (almeno in questo caso, come quasi sempre) è un intervallo di valori.
Tu ne hai solo 2.

[Samy211]

Ops giusto...che sbadata
Sarebbe quindi $-1- sqrt(2)/2<=c<=-1+sqrt(2)/2$

[Knut1]

Non posso dividere entrambi i membri per $(1-c)$ come ho fatto per $a^2$?

Per poi ottenere

$((4+2c)^2)/(2(3+2c)^2)>=1$

E' una castroneria?

[*v.tondi]

Scusa quella è una disequazione fratta nella variabile $c$. Risolvila come tutte le altre fratte, cioè porta la quantità del secondo membro al primo, calcola il $m.c.m.$, studia numeratore e denominatore ponendoli rispettivamente $>=0$ e $>0$ e infine applica la regola dei segni. Comunque non puoi semplificare la quantità $1-c$ perchè non sai a priori se è positiva o negativa, diversamente da $a^2$ come giustamente ha detto l'utente Steven, che è sempre positiva.

[Knut1]

Chiedo scusa, ho scritto $(1-c)$, ma in realtà era $(1+c)$.

Comunque sia, porto tutto a sinistra e ottengo

$(1+c)/(2(3+2c)^2)-(1+c)/((4+2c)^2)>=0$

da cui

$((1+c)(4+2c)^2-2(1+c)(3+2c)^2)/(2(3+2c)^2(4+2c)^2)>=0$

$((1+c)((4+2c)^2-2(3+2c)^2))/(2(3+2c)^2(4+2c)^2)>=0$

e già qui ti chiederei la prima conferma prima di spingermi oltre.


Pongo il numeratore $>=0$ il denominatore $>0$ e poi si vedrà.

Cerca di capirmi, sono così duro di comprendonio perché non pratico la matematica da una decina d'anni. Mi tiri fuori addirittura la regola dei segni che avevo sepolto sotto strati di ricordi.

[*v.tondi]

Puoi continuare, sviluppa i calcoli all'interno delle parentesi e poi studi numeratore e denominatore. Facci sapere se ci sono dubbi.

[Knut1]

Ciao, ho sviluppato e ottengo

$(-c^3-12c^2-10c-2)/(8(4c^4+28c^3+73c^2+84c+36))$

Ora dovrei procedere così?
$-c^3-12c^2-10c-2 >= 0$
$8(4c^4+28c^3+73c^2+84c+36) > 0$

[*v.tondi]

Non conviene moltiplicare $1+c$ per la quantità all'interno delle parentesi, sviluppala e lasciala. Alla fine studia tutti i fattori del numeratore e del denominatore.

[Knut1]

Al numeratore

$(1+c)(-4c^2-8c-2)>=0$

da cui
$1+c>=0$ ovvero $c>=-1$

e
$-4c^2-8c-2>=0$
$c in (-2-sqrt6)/2 ; (-2+sqrt6)/2)$

Giusto?

[*v.tondi]

Attento fai bene i calcoli della disequazione di secondo grado!!!

[Knut1]

$(-4+-2sqrt2)/2$

$c in ((-4-2sqrt2)/2;(-4+2sqrt2)/2)$

[*v.tondi]

Quindi la soluzione (non della disequazione fratta) è $-2-sqrt2

Cita

Segnala

[Knut1]

Sempre restando al numeratore, dato che $c>=1$ abbiamo $1<=c<=(-2+sqrt2)/2$ (avevo scritto male).

Al denominatore, cosa fare? Risolvo le due disequazioni di 2° grado ponendo $>0$? Ma $2(3+2c)^2(4+2c)^2$ non è sempre positivo?

[*v.tondi]

La regola dei segni la devi fare alla fine, dopo aver studiato tutti i fattori del numeratore e del denominatore. Per quanto riguarda il denominatore i fattori sono sempre positivi, tranne nei punti in cui si annullano.

[Knut1]

Il denominatore è $=0$ per $c=-2$ e $c=-3/2$. Questa era facile.

Ora posso affermare che i valori che soddisfano la mia disequazione sono $c in [-1;(-2+sqrt2)/2]$ ?

[*v.tondi]

Non devi calcolare le soluzioni, questa è una disequazione fratta. Una domanda: ma le hai studiate?

[Knut1]

Oh, sì, certo che le ho studiate. Ma in un periodo precedente al lungo periodo in cui ne ho potuto fare a meno.

Di certo le ristudierò, come tante altre cose, ma nell'immediato cerco di arrivare alla soluzione di questo problema, approfittando del tuo gentile aiuto; spero che vorrai perdonarmi per questo.

Dunque non devo calcolare le soluzioni. Intendi le soluzioni per le quali in denominatore è nullo?

[*v.tondi]

Devi porre i fattori del numeratore $>=0$ e quelli del denominatore $>0$. Poi applichi la regola dei segni (prodotto dei segni).