Risolvere la disequazione

[mate15]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questa disequazione:
$log_{\frac{1}{2}}( \frac{x}{e-e^{\frac{1}{x}}} +1\)> 0$

imponiamo le condizione di realtà della disequazione:
\begin{matrix}
x\neq 0\\
e-e^{\frac{1}{x}}\neq 0\\
\frac{x}{e-e^{\frac{1}{x}}}+1>0
\end{matrix}

dalla seconda abbiamo che:

$x\ne 0\vee x\ne 1$

dalla terza invece:
$\frac{x+e-e^{\frac{1}{x}}}{e-e^{\frac{1}{x}}}>0$

mi sono bloccato qui perchè non riesco a risolverla..
se mi potete aiutare..
grazie..

[ciampax]

Ma $x\ne 0,\ e-e^{1/x}\ne 0$??? A che servono? L'unica condizione è imporre che quello che sta tra parentesi sia maggiore di zero. Ora però ti faccio presente che tu devi risolvere $\log f(x)>0$: tale disequazione equivale a scrivere il sistema di disequazioni $f(x)>0,\ f(x)>1$, che risulta equivalente alla sola disequazione $f(x)>1$. Sai perché?

[Zero87]

"ciampax":Ma $x\ne 0,\ e-e^{1/x}\ne 0$??? A che servono?

Credo che servano per l'esponente della $e$ al denominatore e per il non annullarsi dello stesso quindi dovrebbero servire senz'altro.

L'unica condizione è imporre che quello che sta tra parentesi sia maggiore di zero.

Dopo le altre due (credo).

Ora però ti faccio presente che tu devi risolvere $\log f(x)>0$: tale disequazione equivale a scrivere il sistema di disequazioni $f(x)>0,\ f(x)>1$, che risulta equivalente alla sola disequazione $f(x)>1$.

Mi permetto ancora di dissentire, però se non vedo male la base del logaritmo è $1/2$ quindi in questo caso occorre risolvere $f(x)<1$ (e dunque $0

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[ciampax]

Ma, dunque, sinceramente a me sembrano superflue: se risolvi la disequazione $f(x)>0$, passi anche per $x\ne 0$ (che comunque viene inglobata) ma l'altra non serve a molto.

Sì, per l'altra errore mio: avevo letto $2$ come base (giuro, se non me lo facevi notare, continuavo a leggere $2$ e non $1/2$): ovviamente la disequazione equivale al sistema con $f(x)>0,\ f(x)<1$, per cui $0< f(x)< 1$.

[mate15]

ok.. quindi avrei da risolvere tale disequazione:
$0<\frac{x+e-e^{\frac{1}{x}}}{e-e^{\frac{1}{x}}}<1$

è giusto??
come la potresti risolvere..
se mi potete aiutare..
grazie..

[ciampax]

Bé, questa: $x/{e-e^{1/x}}+1<1$ equivale a questa $x/{e-e^{1/x}}<0$ che ha come soluzioni $x\in(-\infty,0)\cup(0,1)$. Per l'altra $x/{e-e^{1/x}}+1>0$ osserviamo che la frazione risulta positiva quando $x>1$ per cui su tale intervallo essa è sicuramente verificata. Cosa accade invece per $x\in(-\infty,0)\cup(0,1)$? Se la riscriviamo così: $\frac{x+e-e^{1/x}}{e-e^{1/x}}>0$, osservando che il denominatore risulta positivo per $x\in(-\infty,0)$ e negativo per $x\in(0,1)$, possiamo riscrivere la disequazione come
$$x+e-e^{1/x}>0,\qquad x<0\\ x+e-e^{1/x}<0,\qquad 0 Direi di considerare a questo punto la funzione $g(x)=x+e-e^{1/x}$, analizzata sui due intervalli precedenti. Osserviamo che
$$\lim_{x\to-\infty} g(x)0-\infty,\quad \lim_{x\to 0^-}g(x)=e,\quad \lim_{x\to 0^+}g(x)=-\infty,\quad g(1)=1$$
Inoltre
$$g'(x)=1+\frac{e^{1/x}}{x^2}=\frac{x^2+e^{1/x}}{x^2}$$
che risulta sempre positiva dove definita. Pertanto la funzione $g$ è sempre crescente e una rapida analisi del grafico sommario ci permette di osservare che $g(x)<0$ quando $x\in(0,1)$ (e pertanto la nostra disequazione risulta qui verificata), mentre, dovendo esistere un unico $\alpha\in(-\infty,0)$ per cui $g(\alpha)=0$, risulta $g(x)>0$ su $(\alpha,0)$. Ne consegue che la soluzione della seconda disequazione è la seguente
$$x\in(\alpha,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$$

Mettendo a sistema le due soluzioni, si ricava la soluzione della disequazione di partenza: $x\in(\alpha,0)\cup(0,1)$.
Spero sia sufficientemente chiaro.