Risolvere $\intsqrt(1-x^2)dx$

[bius88]

salve.....qual è il metodo più semplice per risolvere $\intsqrt(1-x^2)dx$ ?? grazie!

[irenze]

la sostituzione con le funzioni trigonometriche

[salvozungri]

Hai provato per sostituzione trigonometrica?
$x=\sin(t)$
Ricorda che $1-\sin(t)^2= \cos(t)^2$e con un po' di conti giungi alla soluzione. Se non è chiaro il suggerimento chiedi

Vediamo un po' se riesco a scriverlo meglio con le formule:

$\int(\sqrt(1-x^2))dx$
Poni
$x=\sin(t)$ allora
$dx= \cos(t)dt$

L'integrale diventa quindi:

$\int\sqrt(1-\sin(t)^2) \cos(t)dt= \int\cos(t)^2dt = \int\frac{1+\cos(2t)}{2} dt= \frac{1}{2}\int dt+ \frac{1}{2}\int \cos(2t)dt= \frac{1}{2} t + \frac{1}{2}(\frac{\sin(2t)}{2})+C$

Bene fruttando le formule di duplicazione del seno si giunge facilmente a:
$\frac{1}{2} t + \frac{1}{2}(\frac{\sin(2t)}{2})+C= \frac{1}{2}t+\frac{1}{2} \sin(t)\cos(t)+C, C\in\mathbb{R}$

ora $x= \sin(t)$ implica $sqrt(1-x^2)=\cos(t)$ e inoltre $t=\arcsin(x)$ pertanto:

$\int(\sqrt(1-x^2))dx= \frac{1}{2}\arcsin(x)+\frac{x}{2} sqrt(1-x^2)+C, C\in\mathbb{R}$