Risolvere integrale triplo
Ho una domanda su analisi 2. Ho fatto già degli esercizi simili, ma il testo era più semplice ed ero riuscita a capire come semplificare l'integrale triplo.
"Data a>0 , sia P la piramide di vertice $ (0,0,a) $ e con base il quadrato $ (1,1,0) ; (1,-1,0) ; (-1,1,0) ; (-1,-1,0) $
Dato $ g(a) = int int int_(P) z(|z| + |y|) dx dy dz $ , dire quali delle seguenti soluzioni è giusta ...
Ho segnato alcune delle risposte tipo
$ g(3) = 4$
$g(4) = 1 $
$g(2) = ? $ che è la risposta giusta, ma non so quando valga (non l'ho ricopiato)
Comunque il mio ragionamento era questo. Dato che la piramide è un insieme semplice sia rispetto a x che a y che a z, potevo semplificare l'integrale rispetto a uno qualsiasi di questi. Avevo iniziato ponendo
$ int_(0)^(a) [int int z(|z| + |y|)dx dy] dz $
Poi però mi sono accorta che poi non posso andare a togliere il valore assoluto ragionando sulla simmetria dell'integrale (in altri esercizi avevo fatto così)
Allora ho cambiato , facendo ad esempio $ int_(-1)^(1) [int int z(|z| + |y|)dx dz] dy $
ma quando poi arrivo al passaggio finale, mi rimane la z, che non posso integrare e quindi non mi torna ... consigli ?
"Data a>0 , sia P la piramide di vertice $ (0,0,a) $ e con base il quadrato $ (1,1,0) ; (1,-1,0) ; (-1,1,0) ; (-1,-1,0) $
Dato $ g(a) = int int int_(P) z(|z| + |y|) dx dy dz $ , dire quali delle seguenti soluzioni è giusta ...
Ho segnato alcune delle risposte tipo
$ g(3) = 4$
$g(4) = 1 $
$g(2) = ? $ che è la risposta giusta, ma non so quando valga (non l'ho ricopiato)
Comunque il mio ragionamento era questo. Dato che la piramide è un insieme semplice sia rispetto a x che a y che a z, potevo semplificare l'integrale rispetto a uno qualsiasi di questi. Avevo iniziato ponendo
$ int_(0)^(a) [int int z(|z| + |y|)dx dy] dz $
Poi però mi sono accorta che poi non posso andare a togliere il valore assoluto ragionando sulla simmetria dell'integrale (in altri esercizi avevo fatto così)
Allora ho cambiato , facendo ad esempio $ int_(-1)^(1) [int int z(|z| + |y|)dx dz] dy $
ma quando poi arrivo al passaggio finale, mi rimane la z, che non posso integrare e quindi non mi torna ... consigli ?
Risposte
Non ho ben capito la domanda, dal momento che non hai scritto quali siano le risposte possibili: devi calcolare $g(a)$? perché se è così, basta osservare che $g(a)$ è il volume della piramide.
Tuttavia, per quanto scrivi dopo, mi pare che tu debba fare tutt'altro tipo di calcolo, e cioè l'integrale seguente
$$\iiint_P z(|z|+|y|)\ dx\ dy\ dz$$
o sbaglio?
Prima cerchiamo di capire cosa devi fare esattamente, poi vediamo come affrontare il problema.
Tuttavia, per quanto scrivi dopo, mi pare che tu debba fare tutt'altro tipo di calcolo, e cioè l'integrale seguente
$$\iiint_P z(|z|+|y|)\ dx\ dy\ dz$$
o sbaglio?
Prima cerchiamo di capire cosa devi fare esattamente, poi vediamo come affrontare il problema.
Ah ops, ho lasciato un pezzo nel primo integrale 
correggo
Forse ho avuto un'idea, non so se postarla o aspettare te ... dopo magari ti chiedo se va bene
correggoForse ho avuto un'idea, non so se postarla o aspettare te ... dopo magari ti chiedo se va bene
Allora, per prima cosa osserviamo che puoi scomporre il dominio al modo seguente: per prima cosa prendendo $0\le z\le a$ e poi considerando, per ogni $z$ fissato che rispetti la condizione precedente, l'insieme $D_z$ che altro non è che la sezione, parallela alla base, della piramide all'altezza $z$. Dal momento che $P$ è una piramide a base quadrata, anche $D_z$ sarà la base di una piramide a base quadrata. Per determinare il suo lato $l_z$ basta osservare che deve valere la proporzione $l_z/2={a-z}/a$, in quanto i lati di base delle piramidi sono in rapporto come le rispettive altezze. Ne segue che possiamo scrivere le seguenti limitazioni per $P$
$$P=\left\{0\le z\le a,\ -\frac{l_z}{2}\le x\le\frac{l_z}{2},\ -\frac{l_z}{2}\le y\le\frac{l_z}{2}\right\}$$
Andiamo ora a scrivere l'integrale: osserva per prima cosa che su $P$ si ha sempre $z\ge 0$ e pertanto $|z|=z$. Inoltre,possiamo osservare chela funzione da integrare è simmetrica rispetto agli assi $x$ e $y$ (scambiando $y\to -$ o $x\to -x$ la funzione non cambia) e pertanto possiamo usare il fatto che
$$\int_{-k}^k h(t)\ dt=2\int_0^k h(t)\ dt$$
quando $h(t)$ è simmetrica e il dominio di integrazione è simmetrico. Inoltre, così facendo, sia $x$ che $y$ vanno scelte solo nel primo ottante (dove sono tutte positive) e quindi $|y|=y$ (stesso ragionamento di prima). In definitiva, l'integrale da calcolare risulta il seguente
$$4\int_0^a\left(\int_0^{l_z/2}\left(\int_0^{l_z/2} z(z+y)\ dx\right)\ dy\right)\ dz$$
(nota la presenza del $4$ davanti all'integrale dovuta al fatto che gli intgrali in $x$ e $y$ li ho riscritti usando l'osservazione fatta prima sulle funzioni simmetriche). A te i calcoli.
$$P=\left\{0\le z\le a,\ -\frac{l_z}{2}\le x\le\frac{l_z}{2},\ -\frac{l_z}{2}\le y\le\frac{l_z}{2}\right\}$$
Andiamo ora a scrivere l'integrale: osserva per prima cosa che su $P$ si ha sempre $z\ge 0$ e pertanto $|z|=z$. Inoltre,possiamo osservare chela funzione da integrare è simmetrica rispetto agli assi $x$ e $y$ (scambiando $y\to -$ o $x\to -x$ la funzione non cambia) e pertanto possiamo usare il fatto che
$$\int_{-k}^k h(t)\ dt=2\int_0^k h(t)\ dt$$
quando $h(t)$ è simmetrica e il dominio di integrazione è simmetrico. Inoltre, così facendo, sia $x$ che $y$ vanno scelte solo nel primo ottante (dove sono tutte positive) e quindi $|y|=y$ (stesso ragionamento di prima). In definitiva, l'integrale da calcolare risulta il seguente
$$4\int_0^a\left(\int_0^{l_z/2}\left(\int_0^{l_z/2} z(z+y)\ dx\right)\ dy\right)\ dz$$
(nota la presenza del $4$ davanti all'integrale dovuta al fatto che gli intgrali in $x$ e $y$ li ho riscritti usando l'osservazione fatta prima sulle funzioni simmetriche). A te i calcoli.
Ecco era esattamente l'idea che era venuta a me anche se avevo messo 2 invece di 4 ...
La mia professoressa però in genere li svolge considerando gli insiemi semplici. In un esercizio simile ad esempio, avevo che $|y|<= a | $ed era quindi andata a mettere questo integrale fuori al tutto ... e poi ha risolto quelli dentro con il calcolo dell'area. E' una cosa che si fa a "caso" a seconda di cosa preferisco, o c'è un criterio ?
Altra domanda . Io avrei scritto la formula finale come
$ 4 int_(0)^(a) [ int int (...) dx dy ] dz $
e avrei considerato quel dxdy come l'area del quadrato alla generica altezza z. Area ovviamente in funzione di a.
Una volta arrivata però all'ultimo passaggio mi rimangono sia la z che la y, ma ho soltanto dz , quindi mi rimane una y nel risultato, e ovviamente non va bene.
Questo vuol dire che questo procedimento dell'area non lo posso fare? Ma devo andare per forza a integrare ogni volta ?
anche se avevo messo 2 invece di 4 ...La mia professoressa però in genere li svolge considerando gli insiemi semplici. In un esercizio simile ad esempio, avevo che $|y|<= a | $ed era quindi andata a mettere questo integrale fuori al tutto ... e poi ha risolto quelli dentro con il calcolo dell'area. E' una cosa che si fa a "caso" a seconda di cosa preferisco, o c'è un criterio ?
Altra domanda . Io avrei scritto la formula finale come
$ 4 int_(0)^(a) [ int int (...) dx dy ] dz $
e avrei considerato quel dxdy come l'area del quadrato alla generica altezza z. Area ovviamente in funzione di a.
Una volta arrivata però all'ultimo passaggio mi rimangono sia la z che la y, ma ho soltanto dz , quindi mi rimane una y nel risultato, e ovviamente non va bene.
Questo vuol dire che questo procedimento dell'area non lo posso fare? Ma devo andare per forza a integrare ogni volta ?
Per quanto riguarda le osservazioni geometriche, non sono "necessarie", ma ti semplificano un po' di calcoli, quindi non c'è un vero e proprio criterio che ti imponga di farlo.
L'area del quadrato (che io ho indicato con $D_z$) è per definizione $\int\int_{D_z} \dx \dy$. Qui la funzione da integrare non è pari a $1$, quindi quella non è l'area del quadrato. Ecco perché non funziona quello che fai: devi svolgere accuratamente tutti gli integrali. Ti faccio vedere cosa accade: si ha
$$g(a)=4\int_0^a\left(\int_0^{l_z/2}z(z+y)\left[x\right]_0^{l_z/2}\ dy\right)\ dz= 4\int_0^a\left(\int_0^{l_z/2}z(z+y)\cdot\frac{l_z}{2}\ dy\right)\ dz=\\ 4\int_0^a z\frac{l_z}{2}\left(\int_0^{l_z/2}(z+y)\ dy\right)\ dz=4\int_0^a z\frac{l_z}{2}\left[zy+\frac{y^2}{2}\right]_0^{l_z/2}\ dz=\\ 4\int_0^a z\frac{l_z}{2}\left(z\frac{l_z}{2}+\frac{l_z^2}{8}\right)\ dz=$$
ricordando che $l_z=\frac{2(a-z)}{a}$
$$=4\int_0^a z\frac{a-z}{a}\left[z\frac{a-z}{a}+\frac{(a-z)^2}{2a^2}\right]\ dz=\frac{2}{a^3}\int_0^a z(a-z)[2az(a-z)+(a-z)^2]\ dz=\\ \frac{2}{a^3}\int_0^a z(a-z)^2[2az+(a-z)]\ dz=\frac{2}{a^3}\int_0^a z(a-z)^2[2az+(a-z)]\ dz=\\ \frac{2}{a^3}\int_0^a \left[(2a-1)z^4+(3a-4a^2)z^3+(2a^3-3a^2)z^2+a^3 z\right]=\\ \frac{2}{a^3}\left[(2a-1)\frac{z^5}{5}+(3a-4a^2)\frac{z^4}{4}+(2a^3-3a^2)\frac{z^3}{3}+a^3\frac{z^2}{2}\right]_0^a=\\ \frac{2}{a^3}\left[(2a-1)\frac{a^5}{5}+(3a-4a^2)\frac{a^4}{4}+(2a^3-3a^2)\frac{a^3}{3}+a^3\frac{a^2}{2}\right]$$
e dopo un po' di calcoli algebrici
$$g(a)=\frac{4a^3+3a^2}{30}$$
(se non ho sbagliato qualche calcolo, ma mi pare che sia tutto corretto).
L'area del quadrato (che io ho indicato con $D_z$) è per definizione $\int\int_{D_z} \dx \dy$. Qui la funzione da integrare non è pari a $1$, quindi quella non è l'area del quadrato. Ecco perché non funziona quello che fai: devi svolgere accuratamente tutti gli integrali. Ti faccio vedere cosa accade: si ha
$$g(a)=4\int_0^a\left(\int_0^{l_z/2}z(z+y)\left[x\right]_0^{l_z/2}\ dy\right)\ dz= 4\int_0^a\left(\int_0^{l_z/2}z(z+y)\cdot\frac{l_z}{2}\ dy\right)\ dz=\\ 4\int_0^a z\frac{l_z}{2}\left(\int_0^{l_z/2}(z+y)\ dy\right)\ dz=4\int_0^a z\frac{l_z}{2}\left[zy+\frac{y^2}{2}\right]_0^{l_z/2}\ dz=\\ 4\int_0^a z\frac{l_z}{2}\left(z\frac{l_z}{2}+\frac{l_z^2}{8}\right)\ dz=$$
ricordando che $l_z=\frac{2(a-z)}{a}$
$$=4\int_0^a z\frac{a-z}{a}\left[z\frac{a-z}{a}+\frac{(a-z)^2}{2a^2}\right]\ dz=\frac{2}{a^3}\int_0^a z(a-z)[2az(a-z)+(a-z)^2]\ dz=\\ \frac{2}{a^3}\int_0^a z(a-z)^2[2az+(a-z)]\ dz=\frac{2}{a^3}\int_0^a z(a-z)^2[2az+(a-z)]\ dz=\\ \frac{2}{a^3}\int_0^a \left[(2a-1)z^4+(3a-4a^2)z^3+(2a^3-3a^2)z^2+a^3 z\right]=\\ \frac{2}{a^3}\left[(2a-1)\frac{z^5}{5}+(3a-4a^2)\frac{z^4}{4}+(2a^3-3a^2)\frac{z^3}{3}+a^3\frac{z^2}{2}\right]_0^a=\\ \frac{2}{a^3}\left[(2a-1)\frac{a^5}{5}+(3a-4a^2)\frac{a^4}{4}+(2a^3-3a^2)\frac{a^3}{3}+a^3\frac{a^2}{2}\right]$$
e dopo un po' di calcoli algebrici
$$g(a)=\frac{4a^3+3a^2}{30}$$
(se non ho sbagliato qualche calcolo, ma mi pare che sia tutto corretto).
Quindi ovviamente viene tutto diverso. Non avevo pensato alla definizione di area di per se.
Allora scusa, ma non mi torna come risolve gli esercizi la mia professoressa perchè lei ragiona con queste aree. Ti posto un esercizio che ha fatto, così almeno vediamo se sono io che capisco male!
Abbiamo una sfera S di centro $ O (0;0) $ e raggio $a$ con $a>0$.
Calcolare $ g(a) = int int int_(S) |z| dx dy dz $
Allora, lei immagina di andare a sezionare la sfera con un piano parallelo a xy, messo a una generica altezza z, che va da 0 ad a. Questa sezione mi individua un cerchio di raggio $ (a^2 - z^2)^(1/2) $ .
Imposta il solito integrale
$ 2 int_(0)^(a) [int int (z) dx dy] dz $ e va a calcolare l'area data da dxdy come $ pi (a^2 - z^2) $
E poi svolge tutti i calcoli. Allora questo ragionamento sarebbe sbagliato!! Oppure, se quella $ z $ la metto fuori dall'integrale doppio, invece può andare bene ?
Allora scusa, ma non mi torna come risolve gli esercizi la mia professoressa perchè lei ragiona con queste aree. Ti posto un esercizio che ha fatto, così almeno vediamo se sono io che capisco male!
Abbiamo una sfera S di centro $ O (0;0) $ e raggio $a$ con $a>0$.
Calcolare $ g(a) = int int int_(S) |z| dx dy dz $
Allora, lei immagina di andare a sezionare la sfera con un piano parallelo a xy, messo a una generica altezza z, che va da 0 ad a. Questa sezione mi individua un cerchio di raggio $ (a^2 - z^2)^(1/2) $ .
Imposta il solito integrale
$ 2 int_(0)^(a) [int int (z) dx dy] dz $ e va a calcolare l'area data da dxdy come $ pi (a^2 - z^2) $
E poi svolge tutti i calcoli. Allora questo ragionamento sarebbe sbagliato!! Oppure, se quella $ z $ la metto fuori dall'integrale doppio, invece può andare bene ?
No, questo è giusto. Considera che l'ultimo integrale scritto, lo puoi mettere in questa forma
$$2\int_0^a z\left[\int\int\ dx\ dy\right]$$
in quanto $z$ non dipende da $x$ e $y$. Ma nel caso precedente, la funzione dipende da $y$ quindi l'integrale in $dx\ dy$ non può essere una semplice area. Chiaro?
$$2\int_0^a z\left[\int\int\ dx\ dy\right]$$
in quanto $z$ non dipende da $x$ e $y$. Ma nel caso precedente, la funzione dipende da $y$ quindi l'integrale in $dx\ dy$ non può essere una semplice area. Chiaro?
Ok il concetto l'ho capito, grazie . Ho ancora parecchi problemi su queste cose purtroppo 
specialmente quando si tratta di insiemi spaziali, non riesco mai a individuare gli estremi di integrazione
specialmente quando si tratta di insiemi spaziali, non riesco mai a individuare gli estremi di integrazione
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