Risolvere integrale improprio

[kily2001]

$ int_0^1 sinsqrt(x)/(x^a) dx

per quali a>0 converge?

premetto che questo è l'unico esercizio che non ho fatto all'esame, mi spieghereste i passaggi da fare per risolverlo?
Io avrei pensato di usare il criterio del confronto...

[_Tipper]

In $0$ l'integranda è asintotica a $\frac{1}{x^{a - \frac{1}{2}}}$, pertanto tutto converge per $a - \frac{1}{2} < 0$.

[kily2001]

questo è un integrale improprio del secondo tipo giusto? quindi va studiato solo vicino a $0$? come hai trovato $1/x^(a-1/2)$ ?

[_Tipper]

Be', per $x \to 0$ risulta $\sin(x^{\frac{1}{2}}) \approx x^{\frac{1}{2}}$, pertanto la funzione integranda è asintotica a $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^a} = \frac{1}{x^{a - \frac{1}{2}}}$, basta calcolare il limite del rapporto e vedere che torna $1$.