Risolvere integrale
E' la terza volta che ci provo e mi viene sempre lo stesso "risultato"
Devo calcolare
$I=\int_{E}log(xy)dxdy$ con $E={(x,y)\in \RR^2|-1
Quindi uso la proprietà del logaritmo $log(xy)=log(x)+log(y)$
$I=\int_{-1}^{-1/2}\int_{4x}^{1/x}log(x)+log(y)dydx=\int_{-1}^{-1/2} [ylog(x)+ylog(y)-y]_{4x}^{1/x}dx=$
$\int_{-1}^{-1/2}1/xlog(x)-4xlog(x)+1/xlog(1/x)-1/x-4xlog(4x)+4xdx=$
$[1/2log^2(x)-2x^2log(x)+x^2-1/2log^2(1/x)-log(x)-2x^2log(4x)+x^2+2x^2]_{-1}^{-1/2}=$
$[1/2log^2(-1/2)-1/2log(-1/2)+1/4-1/2log^2(-2)-log(-1/2)-1/2log(-2)+1/4+1/2]-[1/2log^2(-1)-2log(-1)+1-1/2log^2(-1)-log(-1)-2log(-4)+1+2]$
A questo punto provo a semplificare quello che posso ma i $log^2$ non spariscono e il risultato non mi torna essere $-3+5log(2)$
Riuscite a capire dove sbaglio? Le varie integrazioni per parti le ho controllate con WolframAlpha e tornano giuste.
Devo calcolare
$I=\int_{E}log(xy)dxdy$ con $E={(x,y)\in \RR^2|-1
Quindi uso la proprietà del logaritmo $log(xy)=log(x)+log(y)$
$I=\int_{-1}^{-1/2}\int_{4x}^{1/x}log(x)+log(y)dydx=\int_{-1}^{-1/2} [ylog(x)+ylog(y)-y]_{4x}^{1/x}dx=$
$\int_{-1}^{-1/2}1/xlog(x)-4xlog(x)+1/xlog(1/x)-1/x-4xlog(4x)+4xdx=$
$[1/2log^2(x)-2x^2log(x)+x^2-1/2log^2(1/x)-log(x)-2x^2log(4x)+x^2+2x^2]_{-1}^{-1/2}=$
$[1/2log^2(-1/2)-1/2log(-1/2)+1/4-1/2log^2(-2)-log(-1/2)-1/2log(-2)+1/4+1/2]-[1/2log^2(-1)-2log(-1)+1-1/2log^2(-1)-log(-1)-2log(-4)+1+2]$
A questo punto provo a semplificare quello che posso ma i $log^2$ non spariscono e il risultato non mi torna essere $-3+5log(2)$
Riuscite a capire dove sbaglio? Le varie integrazioni per parti le ho controllate con WolframAlpha e tornano giuste.
Risposte
Cosa significa \(\log(-1)\)? E' un brutto errore.
Ho sostituito $x$ con $-1/2$ e $-1$
E da quando il logaritmo accetta argomenti negativi?
Eh va bene. Quindi? Se mi viene detto di metterci dentro -1 e -1/2 cosa faccio, metto il modulo? Non capisco.
Sarebbe meglio se ti rendessi conto che la proprietà del logaritmo che pretendi di usare, i.e. $\log(xy)= \log x + \log y$, vale solo se hanno senso ambo i membri... E che questo non è il caso, perché $x,y<0$ nella regione d'integrazione.
Quindi, come puoi rimediare?
Quindi, come puoi rimediare?
Integro senza separare?
$I=\int_{-1}^{-1/2}\int_{4x}^{1/x}log(xy)dydx=\int_{-1}^{-1/2}[ylog(xy)-y]_{4x}^{1/x}dx$ e proseguo?
$I=\int_{-1}^{-1/2}\int_{4x}^{1/x}log(xy)dydx=\int_{-1}^{-1/2}[ylog(xy)-y]_{4x}^{1/x}dx$ e proseguo?
Prova.
Altrimenti, puoi tener presente che per $x$ ed $y$ negative, hai:
\[
\log(xy) = \log ((-x)(-y)) = \log(-x) + \log(-y)\; .
\]
O ancora puoi fare il cambiamento di variabili:
\[
\begin{cases}
x=-u\\
y=-v
\end{cases}
\]
che riporta il problema nel primo quadrante...
Insomma, di alternative ne hai a iosa.
Per trovarne altre, ti basta smettere di applicare meccanicamente le formule che hai letto e cominciare a ragionare seriamente sui problemi che ti si parano davanti agli occhi.
Altrimenti, puoi tener presente che per $x$ ed $y$ negative, hai:
\[
\log(xy) = \log ((-x)(-y)) = \log(-x) + \log(-y)\; .
\]
O ancora puoi fare il cambiamento di variabili:
\[
\begin{cases}
x=-u\\
y=-v
\end{cases}
\]
che riporta il problema nel primo quadrante...
Insomma, di alternative ne hai a iosa.
Per trovarne altre, ti basta smettere di applicare meccanicamente le formule che hai letto e cominciare a ragionare seriamente sui problemi che ti si parano davanti agli occhi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo