Risolvere il seguente limite?
Ho il seguente limite : $ lim_(x -> 3/2) ((cospi*x)/(4x^2-16x+15)) $ che è una forma indeterminata 0/0. Non riesco a capire come si risolve, ho provato a usare Taylor intorno al punto 3/2, ma non mi trovo. Potreste darmi qualche suggerimento? Grazie mille.
Risposte
Tecniche da liceo.
Scomponi il polinomio al denominatore, fai il cambiamento di variabile $y = x - 3/2$ e poi usa un po' di formule di trigonometria.
Scomponi il polinomio al denominatore, fai il cambiamento di variabile $y = x - 3/2$ e poi usa un po' di formule di trigonometria.
Ciao Omi,
Facendo uso della regola di de l'Hopital dopo qualche passaggio si ha:
$ \lim_{x \to 3/2} (cos(pi x))/(4x^2-16x+15) \stackrel{H}[=]... = - \pi/4 $
Altrimenti, se non vuoi/puoi usare la sopra menzionata regola e vuoi provarci con Taylor, porrei $t := x - 3/2 $
Facendo uso della regola di de l'Hopital dopo qualche passaggio si ha:
$ \lim_{x \to 3/2} (cos(pi x))/(4x^2-16x+15) \stackrel{H}[=]... = - \pi/4 $
Altrimenti, se non vuoi/puoi usare la sopra menzionata regola e vuoi provarci con Taylor, porrei $t := x - 3/2 $
Vi ringrazio.
Prego.
Ho notato poi che il limite proposto si può risolvere anche facendo uso dei soli limiti notevoli:
$ \lim_{x \to 3/2} (cos(\pi x))/(4x^2-16x+15) = \lim_{x \to 3/2} (cos(\pi x))/((2x - 3)(2x - 5)) $
Posto $t := x - 3/2 \implies x = t + 3/2 \implies 2t = 2x - 3 \implies 2t - 2 = 2x - 5$, si ha:
$ \lim_{x \to 3/2} (cos(\pi x))/((2x - 3)(2x - 5)) = \lim_{t \to 0} (cos(\pi(t + 3/2)))/(2t(2t - 2)) = $
$ = \lim_{t \to 0} (sin(\pi t))/(2t(2t - 2)) = \pi/2 \cdot \lim_{t \to 0} (sin(\pi t))/(\pi t) \cdot 1/(2t - 2) = \pi/2 \cdot 1 \cdot 1/(-2) = - \pi/4 $
Ho notato poi che il limite proposto si può risolvere anche facendo uso dei soli limiti notevoli:
$ \lim_{x \to 3/2} (cos(\pi x))/(4x^2-16x+15) = \lim_{x \to 3/2} (cos(\pi x))/((2x - 3)(2x - 5)) $
Posto $t := x - 3/2 \implies x = t + 3/2 \implies 2t = 2x - 3 \implies 2t - 2 = 2x - 5$, si ha:
$ \lim_{x \to 3/2} (cos(\pi x))/((2x - 3)(2x - 5)) = \lim_{t \to 0} (cos(\pi(t + 3/2)))/(2t(2t - 2)) = $
$ = \lim_{t \to 0} (sin(\pi t))/(2t(2t - 2)) = \pi/2 \cdot \lim_{t \to 0} (sin(\pi t))/(\pi t) \cdot 1/(2t - 2) = \pi/2 \cdot 1 \cdot 1/(-2) = - \pi/4 $
E' così che l'ho fatto Pilo. Appena mi avete accennato alla sostituzione y=x-3/2, ho fatto subito mente locale. Grazie ancora.
"Omi":
E' così che l'ho fatto Pilo. Appena mi avete accennato alla sostituzione y=x-3/2, ho fatto subito mente locale. Grazie ancora.
Prego.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo