Risolvere il problema di cauchy...
ciao a tutti... devo risolvere il problemi di cauchy
$y'-tgx(y)=tgx+x$
$y((3pi)/4)=-pi$
una volta trovata la soluzione (con la famosa formula $y=e^(-A(x)... )$), l'esercizio chiede testualmente " qual è il massimo intrno di $x=(3pi)/4$ nel quale si può affermare, tramite il teorema di cauchy, che tale soluzione esiste ed è unica... ch vuol dire? mi sono fermao qui concettualmente, non riesco a vedere cosa si intende per "massimo intorno"...
$y'-tgx(y)=tgx+x$
$y((3pi)/4)=-pi$
una volta trovata la soluzione (con la famosa formula $y=e^(-A(x)... )$), l'esercizio chiede testualmente " qual è il massimo intrno di $x=(3pi)/4$ nel quale si può affermare, tramite il teorema di cauchy, che tale soluzione esiste ed è unica... ch vuol dire? mi sono fermao qui concettualmente, non riesco a vedere cosa si intende per "massimo intorno"...
Risposte
nessuno?...
Si intende l'intervallo più ampio, contenente $3/4pi$, in cui è applicabile il teorema di cauchy di esistenza e unicità locale.
Non so quali teoremi di esistenza e unicità locali ti sono stati proposti a lezione.
Trattandosi di una equazione del primo ordine lineare, l'esistenza e l'unicità della soluzione è garantita a priori dai teoremi nel più ampio intervallo di $3/4pi$ in cui le funzioni "coefficienti" dell'equazione sono continue, ossia nel tuo esercizio, nel più ampio intervallo di $3/4pi$ in cui la funzione tangente è continua.
Non so quali teoremi di esistenza e unicità locali ti sono stati proposti a lezione.
Trattandosi di una equazione del primo ordine lineare, l'esistenza e l'unicità della soluzione è garantita a priori dai teoremi nel più ampio intervallo di $3/4pi$ in cui le funzioni "coefficienti" dell'equazione sono continue, ossia nel tuo esercizio, nel più ampio intervallo di $3/4pi$ in cui la funzione tangente è continua.
eh questo l'avevo capito anch'io... ma come lo trovo? ha a che fare con il dominio? e poi... con il dominio di cosa?...
A questo punto non ci vuole molto: la tangente non è continua dove ammette asintoti, cioè per $ x =pi/2+kpi$, dunque il più ampio intervallo dove i coefficienti sono continui contenente $3/4pi$ è $(pi/2,3/2pi)$.
in teoria per rispondere a questa precisa domanda posso anche non trovarmi per forza la soluzione? o mi serve in qualche modo a qualcosa?
[mod="Fioravante Patrone"]
Non sono graditi degli "up" a distanza così ravvicinata, anche perché vanno a scapito di altri utenti e delle loro legittime aspettative.
Per cortesia evitali in futuro.[/mod]
"andreajf89":
nessuno?...
Non sono graditi degli "up" a distanza così ravvicinata, anche perché vanno a scapito di altri utenti e delle loro legittime aspettative.
Per cortesia evitali in futuro.[/mod]
Dici bene, i teoremi di esistenza e unicità si possono applicare indipendentemente dall'aver risolto esplicitamente l'equazione. Anzi, dirie che la loro utilità è sopratutto nei casi in cui non si riesce a determinare esplicitamente l'integrale generale dell'equazione: anche senza determinarla i teoremi di esistenza e unicità ci consentono di dedurre informazioni sull'esistenza della soluzione e sul suo intervallo di definizione.
e se avessi $y'+(e^x/(e^x-2))y=xe^(-x)$ e $y(0)=2$ che intorno sarebbe? mi verrebbe da escludere solo $x=log2$...
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