Risolvere il limite se esiste

[mate15]

salve avrei bisogno del vostro aiuto sul seguente esercizio:
si calcoli,se esiste tramite l'utilizzo di limiti notevoli, il seguente limite:
$limx→0(xlog(1+x^2)−2(e^(xsin^2x)−1))⋅e^(1/x)$

Possiamo scrivere il limite come:
$limx→0(xlog(1+x^2)−2(e^(xsin^2x)−1))⋅limx→0 e^(1/x )$

quindi abbiamo che:
$limx→0(xlog(1+x^2)−2(e^(xsin^2x)−1))$
ovvero

$limx→0xlog(1+x^2)+limx→0−2(e^(xsin^2x−)1)) $
per il primo limite si ha:

$limx→0xlog(1+x^2) $
sfruttando il limite notevole

$limx→0 log(1+f(x))/f(x)=1 $
moltiplichiamo e dividiamo per x^2
e otteniamo:

$limx→0x^2 xlog(1+x^2)/x^2= limx→0 x^3 log(1+x^2)/x^2=0⋅1=0 $
mentre per il limite:
$limx→0−2(e^xsin^2x−1) $
si ha:
$−2limx→0x sin^2x (e^(xsin^2x)−1/xsin^2x) $
che possiamo riscrivere come, moltiplicando e dividendo per x avendo considerato il limite notevole del seno:
$−2limx→0x^2(sinx/x)(sinx/x) ((e^(xsin^2x)−1)/(xsin^2x) )$
$=−2⋅0⋅1⋅1⋅1=0 $
quindi il limite:
$limx→0(xlog(1+x^2)−2(e^(xsin^2x)−1)) $
è uguale a zero...
è giusto???

mentre per il limite
$limx→0 e^(1/x) $
come lo risolvo...
e il limite generale come faccio a capire se esiste oppure no..
fatemi sapere se c'è qualcuno che mi può dare una mano..
grazie..

[kobeilprofeta]

Se la prima parte viene $0$, allora ti trovi in una forma indeterminata perchè $lim_{x->0} e/x = infty$ e $0*infty$ è indeterminato.

[mate15]

Allora il limite è
per x che tende a zero di $e^(1/x)....
Quindi come faccio a risolvere questa forma indeterminataaa...
Se mi potetr aiutare..
Perchè non sto riuscendo a capire come
si potrebbe risolverla...
Fatemi sapere..
Grazie..

[kobeilprofeta]

Non si era capito, allora tu vuoi $e^(1/x)$, non $e^1/x$.
$lim_{x->0} e^(1/x)$. Posto $y=1/x$ se x tende a zero, y tende a infinito. Quindi si ha $lim_{y->infty} e^y = infty$.

[mate15]

si e quindi come hai detto tu ho una forma indeterminata 0*infinito
come faccio a risolvere questa forma indeterminata..
Se mi puoi aiutare...
perchè sto impazzendo..
Fatemi sapere..
Grazie..

[kobeilprofeta]

$lim_{x->0} -2(e^x*sin^2x-1)= -2*(1*0-1) = (-2)*(-1)=2$

[mate15]

il limite che hai scritto non è quello che cercavo... avevo sbagliato a scrivre..
comunque ora ho corretto il primo post...
pertanto in conclusione il limite dato esiste o no??
e se esiste quanto vale e come faccio a calcolarlo..
se mi potete aiutare..
fatemi sapere..
grazie..