Risolvere i limiti con l'uso della formula di Taylor !

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Invisibile1

9 lug 2010, 15:20

Salve a tutti,
dopo aver visto vari libri non riesco ancora a capire il procedimento del uso di formula di Taylor per calcolare i limiti non semplici

qualcuno mi potrebbe per favore spiegare in modo lineare (non dare niente per ovvio ) il procedimento !?
magari con questo esempio :
$lim_(x -> 0) (1/x^2-1/(x*sin x))$
grazie

Risposte

faximusy

9 lug 2010, 13:37

Sai applicare la formula di Taylor a $sinx$?

Se la applichi, cosa diventa $sinx$?

Invisibile1

9 lug 2010, 13:50

si

$(x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+o(x^7))$

di ordine 7 cosi ...
in generale so applicare taylor ai funzioni ... elementari e non ...

faximusy

9 lug 2010, 14:03

Perfetto, ma è sbagliata l'impaginazione

Metti una parentesi quando scrivi x^n/(n!), altrimenti sembra fattoriale del rapporto

Ora prova a sostituire questo che hai ottenuto, al posto del seno.
Il settimo ordine è però estremamente "superfluo", perchè non ti serve questo grado di precisione quando sei vicino allo $0$.

Vicino allo $0$, $sinx$ si comporta semplicemente come $x$.

Prova quindi a sostituire $sinx \sim x$ e vedere se funziona.

Non funziona? Allora ti serve una precisione maggiore.
Prova quindi con $sinx \sim x-x^3/6$, e così via se non dovesse funzionare neanche così

Invisibile1

9 lug 2010, 14:28

Oopts

sisi ho sbagliato a scrivere la formuletta

ok sostituendo $sinx$ con $x-(x^3/6)$ trovo che la mia funzione di partenza diventa uguale a : $-1/(6-x^2)$ che poi svolgendo il limite viene $-1/6$ che è giusto ...

allora le domande sono:
1) in base a cosa dici che non si può approssimare $sinx$ a $x$ ? si ho visto che funzione si annulla ma che spiegazione si ha ?
2) anche nel libro sostituiva solo la parte di $sinx$ con la sua formula di taylor, ma introducendo anche quei antipatici di o piccoli :S ... che importanza ha mettere o non mettere gli o piccoli dato che il risultato è lo stesso ?
3) in generale si può dire che per risolvere un limite con la formula di taylor basterebbe sostituire le parti (elementari) della funzione con i loro polinomi di taylor( ordine boh?) ???