Risolvere esercizio serie di potenze
$\sum_{n=1}^infty (2^n+1)/(2^n+3^n)(x-1)^n$
Devo trovare il raggio di convergenza e l'insieme.
Non riesco a trovare il raggio per questa qui...Ho provato con il rapporto e con la radice ma non mi viene.
L'insieme invece non so trovarlo...
Il risultato del raggio dovrebbe essere $3/2$ e l'insieme $(-1/2, 5/2)$
Qualcuno mi illumina?
Devo trovare il raggio di convergenza e l'insieme.
Non riesco a trovare il raggio per questa qui...Ho provato con il rapporto e con la radice ma non mi viene.
L'insieme invece non so trovarlo...
Il risultato del raggio dovrebbe essere $3/2$ e l'insieme $(-1/2, 5/2)$
Qualcuno mi illumina?
Risposte
Per il raggio, prova di nuovo col criterio della radice facendo bene i passaggi.
Per l'insieme, esso è uno dei quattro possibili intervalli con centro nel centro della serie e semiampiezza pari al raggio di convergenza.
Per l'insieme, esso è uno dei quattro possibili intervalli con centro nel centro della serie e semiampiezza pari al raggio di convergenza.
Il raggio di convergenza a me viene uguale. Per quanto riguarda l' insieme di convergenzia, vedo che tu hai posto il centro in $x=1$(essendo questa una serie di centro 1), quindi andando a sostituire $-3/2$ e $3/2$ ti viene $(-5/2,1/2)$ se hai scelto quel centro per la tua serie. Comunque per $-3/2$ ti viene una serie a segni alterni che diverge per il criterio di Leibniz per le serie a segni alterni , mentre per $3/2$ ti viene ua serie a termini positivi che converge per il criterio della radice. Quindi se hai posto il centro in $1$ ti viene $I=(-5/2,1/2]$, se invece hai lasciato $(x-1)$ $I=(-3/2,3/2]$.
Porca vacca, a me continua a venire $5/3$ il raggio!
$sqrt[(2^n+1)/(2^n+3^n)] = sqrt(2^n+1)/sqrt(2^n+3^n)$ E non so perchè qui mi inchiodo...Mi verrebbe voglia di sostituire la radice e metterci $1/n$ come esponenti ma mi sembra una boiata...
$sqrt[(2^n+1)/(2^n+3^n)] = sqrt(2^n+1)/sqrt(2^n+3^n)$ E non so perchè qui mi inchiodo...Mi verrebbe voglia di sostituire la radice e metterci $1/n$ come esponenti ma mi sembra una boiata...
Ma guarda che il criterio della radice funziona proprio con le radici \(n\)-esime...
Si si lo so non riuscivo a trovare qui come mettere l'esponente sulla radice xD
scusate per curiosità come avete utilizzato qui il criterio della radice, ditemi se il mio ragionamento è corretto (su questo tipo di serie ho sempre un pò di problemi):
$ (2^n+1)/(2^n+3^n) $ osservando la serie mi verrebbe da dire che per n>>0 : $ 2^n/3^n $ , quindi applico il creiterio della radice e ottengo $ 2/3 $ quindi R= $ 3/2 $ ...anche voi avete fatto questo ragionamento?
$ (2^n+1)/(2^n+3^n) $ osservando la serie mi verrebbe da dire che per n>>0 : $ 2^n/3^n $ , quindi applico il creiterio della radice e ottengo $ 2/3 $ quindi R= $ 3/2 $ ...anche voi avete fatto questo ragionamento?
@gugo82 o altri mi date un feedback 
Sì... Detto meglio, hai:
\[
\sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{\frac{2^n +1}{2^n + 3^n}} = \frac{2}{3}\ \sqrt[n]{\frac{1+(1/2)^n}{1+(2/3)^n}}
\]
quindi:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{2}{3}\; .
\]
\[
\sqrt[n]{|a_n|} =\sqrt[n]{\frac{2^n +1}{2^n + 3^n}} = \frac{2}{3}\ \sqrt[n]{\frac{1+(1/2)^n}{1+(2/3)^n}}
\]
quindi:
\[
\lim_n \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{2}{3}\; .
\]
ecco qua mi mancava proprio questo passaggio intermedio!!!!! grazie mille gugo!!!!
Ah ma si faceva raccogliendo? Non me ne sarei mai accorto. Ecco perchè non mi veniva.
"Shika93":
Ah ma si faceva raccogliendo? Non me ne sarei mai accorto. Ecco perchè non mi veniva.
Certo, raccogliendo il calcolo si fa in esattamente 60 secondi... Il celeberrimo minuto di raccoglimento!
Ahahah non ci ho pensato xD grazie
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