Risolvere equazioni di numeri complessi....
Salve ragazzi, mi sembra una banalità però boh...
ho quest'equazione:
$Re e^z - |e^z| = - 1/2 e^(Re z) (z^2)/(|z^2| - 2(Im z)^2)$
ho fatto tutte le trasformazioni e alla fine mi trovo una cosa del genere:
$x^2 (2 cosy + 1) + y^2 (2cosy -1) + jxy = 0$ e da qui non so continuare. Per quanto mi possa sforzare non riesco a capire se mi devo trovare un risultato del tipo z= f(x,y) o boh..... mi potete aiutare? Come si conclude l'esercizio?
ho quest'equazione:
$Re e^z - |e^z| = - 1/2 e^(Re z) (z^2)/(|z^2| - 2(Im z)^2)$
ho fatto tutte le trasformazioni e alla fine mi trovo una cosa del genere:
$x^2 (2 cosy + 1) + y^2 (2cosy -1) + jxy = 0$ e da qui non so continuare. Per quanto mi possa sforzare non riesco a capire se mi devo trovare un risultato del tipo z= f(x,y) o boh..... mi potete aiutare? Come si conclude l'esercizio?
Risposte
"Tycos":
Salve ragazzi, mi sembra una banalità però boh...
ho quest'equazione:
$Re e^z - |e^z| = - 1/2 e^(Re z) (z^2)/(|z^2| - 2(Im z)^2)$
Cerco di riscrivere l'equazione in modo leggibile:
$Re (e^z) - |e^z| = - 1/2 e^(Re (z)) (z^2)/(|z^2| - 2(Im (z))^2)$
"franced":
[quote="Tycos"]Salve ragazzi, mi sembra una banalità però boh...
ho quest'equazione:
$Re e^z - |e^z| = - 1/2 e^(Re z) (z^2)/(|z^2| - 2(Im z)^2)$
Cerco di riscrivere l'equazione in modo leggibile:
$Re (e^z) - |e^z| = - 1/2 e^(Re (z)) (z^2)/(|z^2| - 2(Im (z))^2)$[/quote]si esatto. Ammesso che trasformi tutto (nel senso esplicito tutto sotto forma di z = x + jy) ho una sola equazione in 2 incognite (proprio x e y) e poi?
Ho provato a scrivere $z=x+iy$ da cui seguono i seguenti fatti:
$e^z=e^x(cos(y)+isin(y))$ e quindi $Re(e^z)=e^x(cos(x))$;
$|e^z|=e^x$;
$e^(Re(z))=e^x$;
$z^2=x^2-y^2+2ixy$;
$|z^2|=x^2+y^2$;
$Im(z)=y$
Sostituendo si ha:
$e^x(cos(x))-e^x=-(1/2)e^x(x^2-y^2+2ixy)/(x^2+y^2-2y^2)$
$cos(x)-1=-(1/2)(1+2i(xy)/(x^2-y^2))$
Uguagliando la parte reale al primo membro con la parte reale al secondo membro:
$cos(x)-1=-1/2$ e quindi $x=pi/3+2kpi$ e $x=-pi/3+2kpi$ con $k in ZZ$
Uguagliando la parte immaginaria al primo membro con la parte immaginaria al secondo membro:
$0=-(xy)/(x^2-y^2)$ si ha $y=0$
$e^z=e^x(cos(y)+isin(y))$ e quindi $Re(e^z)=e^x(cos(x))$;
$|e^z|=e^x$;
$e^(Re(z))=e^x$;
$z^2=x^2-y^2+2ixy$;
$|z^2|=x^2+y^2$;
$Im(z)=y$
Sostituendo si ha:
$e^x(cos(x))-e^x=-(1/2)e^x(x^2-y^2+2ixy)/(x^2+y^2-2y^2)$
$cos(x)-1=-(1/2)(1+2i(xy)/(x^2-y^2))$
Uguagliando la parte reale al primo membro con la parte reale al secondo membro:
$cos(x)-1=-1/2$ e quindi $x=pi/3+2kpi$ e $x=-pi/3+2kpi$ con $k in ZZ$
Uguagliando la parte immaginaria al primo membro con la parte immaginaria al secondo membro:
$0=-(xy)/(x^2-y^2)$ si ha $y=0$
"deserto":
Ho provato a scrivere $z=x+iy$ da cui seguono i seguenti fatti:
$e^z=e^x(cos(y)+isin(y))$ e quindi $Re(e^z)=e^x(cos(x))$;
$|e^z|=e^x$;
$e^(Re(z))=e^x$;
$z^2=x^2-y^2+2ixy$;
$|z^2|=x^2+y^2$;
$Im(z)=y$
Sostituendo si ha:
$e^x(cos(x))-e^x=-(1/2)e^x(x^2-y^2+2ixy)/(x^2+y^2-2y^2)$
$cos(x)-1=-(1/2)(1+2i(xy)/(x^2-y^2))$
Uguagliando la parte reale al primo membro con la parte reale al secondo membro:
$cos(x)-1=-1/2$ e quindi $x=pi/3+2kpi$ e $x=-pi/3+2kpi$ con $k in ZZ$
Uguagliando la parte immaginaria al primo membro con la parte immaginaria al secondo membro:
$0=-(xy)/(x^2-y^2)$ si ha $y=0$
ti ringrazio
anche se dovresti correggere un'espressione cioè... si ha:
$e^x(cos(y))-e^x=-(1/2)e^x(x^2-y^2+2ixy)/(x^2+y^2-2y^2)$
e non
$e^x(cos(x))-e^x=-(1/2)e^x(x^2-y^2+2ixy)/(x^2+y^2-2y^2)$
hai perfettamente ragione
spero che ora venga $x=0$ e $y=pi/3+2kpi$ e $y=-pi/3+2kpi$ con $k in ZZ$, quindi $z=(pi/3+2kpi)i$ e $z=(-pi/3+2kpi)i$ sono le soluzioni richieste.
spero che ora venga $x=0$ e $y=pi/3+2kpi$ e $y=-pi/3+2kpi$ con $k in ZZ$, quindi $z=(pi/3+2kpi)i$ e $z=(-pi/3+2kpi)i$ sono le soluzioni richieste.
esatto grazie 1000
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