Risolvere equazione in campo complesso

[ride2]

ho la seguente equazione: $z^4=16i$ devo risolverla e scrivere le radici in forma trigonometrica.
ho scritto $16i$ in forma esponenziale e quindi in forma trigonometrica ottenendo: $2(cos(\pi/8+k\pi/2)+isin(\pi/8+k\pi/2))$, con $k=0,1,2,3$ . sperando di non avere fatto errori in partenza e nello scrivere le formule, ho trovato poi le soluzioni:
$z_1=2(cos(\pi/8)+isin(\pi/8))$
$z_2=2(cos(\pi/8+\pi/2)+isin(\pi/8+\pi/2))$
$z_3=2(cos(\pi/8+\pi)+isin(\pi/8+\pi))$
$z_4=2(cos(\pi/8+3\pi/2)+isin(\pi/8+3\pi/2))$
potreste dirmi se le radici trovate sono corrette? so che dovrei anche risolvere le somme degli angoli fra parentesi, ma mi interessa sapere se il ragionamento e quindi il risultato a cui sono giunto è esatto

[gio73]

Ciao ride, ti aiuto sulle somme degli angoli in parentesi, controlla se ti torna
$pi/8+pi/2=pi/8+4pi/8=5pi/8$ questo angolo supera 90° di 22° e 30'
$pi/8+pi=9/8pi$questo angolo supera 180° di 22° e 30'
$pi/8+3pi/2=pi/8+12pi/8=13pi/8$ questo angolo supera 270° di 22° e 30'
$pi/8$ questo angolo vale 22° e 30'

[21zuclo]

"ride":ho la seguente equazione: $z^4=16i$ devo risolverla e scrivere le radici in forma trigonometrica.
ho scritto $16i$ in forma esponenziale e quindi in forma trigonometrica ottenendo: $2(cos(\pi/8+2k\pi)+isin(\pi/8+2k\pi))$, con $k=0,1,2,3$ .

uhm invece di $2k\pi$ dovrebbe essere $(k\pi)/(2)$

perchè dalla formula delle radici n-esime (la scrivo in forma esponenziale)
\[\displaystyle \sqrt[n]{z}=\rho^{\frac{1}{n}} \exp\left(\imath \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right); k=0,1,...n-1 \]

allora per te è $\rho^{1/n}=16^{1/4}=2$ per cui hai

$2 \cdot \exp(i(((\pi)/(2)+2k\pi)/(4)))$ che puoi scrivere se per te è più comodo
\[\displaystyle 2\cdot \exp\left(\imath\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)\right); k=0,1,2,3 \]

[ride2]

"21zuclo":[quote="ride"]ho la seguente equazione: $z^4=16i$ devo risolverla e scrivere le radici in forma trigonometrica.
ho scritto $16i$ in forma esponenziale e quindi in forma trigonometrica ottenendo: $2(cos(\pi/8+2k\pi)+isin(\pi/8+2k\pi))$, con $k=0,1,2,3$ .

uhm invece di $2k\pi$ dovrebbe essere $(k\pi)/(2)$

perchè dalla formula delle radici n-esime (la scrivo in forma esponenziale)
\[\displaystyle \sqrt[n]{z}=\rho^{\frac{1}{n}} \exp\left(\imath \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right); k=0,1,...n-1 \]

allora per te è $\rho^{1/n}=16^{1/4}=2$ per cui hai

$2 \cdot \exp(i(((\pi)/(2)+2k\pi)/(4)))$ che puoi scrivere se per te è più comodo
\[\displaystyle 2\cdot \exp\left(\imath\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\right)\right); k=0,1,2,3 \][/quote]

pardon, ho semplicemente sbagliato a scrivere! l'esercizio lo avevo risolto con $k\pi/2$ . e comunque le somme ero capace di farle, mi serviva semplicemente approvazione delle radici trovate, visto che non avendo le soluzioni non posso essere certo della mia risoluzione! grazie mille comunque