Risolvere equazione differenziale non lineare
$y' = (y^2 - y + 1) /( x^2 + x + 1)$
$\int 1 / (y^2 - y + 1) = \int 1 / ( x^2 + x + 1) = $
$\int 1 / (3/4 + (y - 1/2)^2) = \int 1 / (1/4 + (x + 1/2)^2) $
$4/3 \int 1 / (1 + ((2y -1) / \sqrt{3})^2) = 4 \int 1 / (1 + (2x + 1)^2)$
$(2\sqrt{3})/3 \arctan ((2y-1 )/ \sqrt{3}) = 2 \arctan (2x +1) + c$
$\arctan ((2y-1 )/ \sqrt{3}) = 3 / \sqrt{3} \arctan (2x +1) + c$
ragazzi qui mi dovete dare una mano, come si fa a trovare $y(x) ? $
Io so che $\arctan y = x + c $ se $y = \tan (x) + c $ oppure $\tan (x + c) ? $ ma lì è più complicato e non riesco a farlo, chi sarebbe così gentile da mostrarmi il procedimento?
Grazie
$\int 1 / (y^2 - y + 1) = \int 1 / ( x^2 + x + 1) = $
$\int 1 / (3/4 + (y - 1/2)^2) = \int 1 / (1/4 + (x + 1/2)^2) $
$4/3 \int 1 / (1 + ((2y -1) / \sqrt{3})^2) = 4 \int 1 / (1 + (2x + 1)^2)$
$(2\sqrt{3})/3 \arctan ((2y-1 )/ \sqrt{3}) = 2 \arctan (2x +1) + c$
$\arctan ((2y-1 )/ \sqrt{3}) = 3 / \sqrt{3} \arctan (2x +1) + c$
ragazzi qui mi dovete dare una mano, come si fa a trovare $y(x) ? $
Io so che $\arctan y = x + c $ se $y = \tan (x) + c $ oppure $\tan (x + c) ? $ ma lì è più complicato e non riesco a farlo, chi sarebbe così gentile da mostrarmi il procedimento?
Grazie
Risposte
Prendi la tangente di ambo i membri:
\[\tan \arctan \left( \frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = \tan \left( \frac{3}{\sqrt{3}}\arctan(2x+1)+c\right).\]
La tangente dell'arcotangente è uguale all'argomento dell'arcotangente (è la composizione inversa, arcotangente di tangente, che ti fa spuntare i \(k\pi\) per periodicità. Ma \(\arctan\) non è periodica e quindi non ci fa scherzi) e da qui ottieni una equazione di primo grado in \(y\). Risolvila, dopodiché puoi chiudere il libro e andare al bar.
Buonanotte!
\[\tan \arctan \left( \frac{2y-1}{\sqrt{3}}\right) = \tan \left( \frac{3}{\sqrt{3}}\arctan(2x+1)+c\right).\]
La tangente dell'arcotangente è uguale all'argomento dell'arcotangente (è la composizione inversa, arcotangente di tangente, che ti fa spuntare i \(k\pi\) per periodicità. Ma \(\arctan\) non è periodica e quindi non ci fa scherzi) e da qui ottieni una equazione di primo grado in \(y\). Risolvila, dopodiché puoi chiudere il libro e andare al bar.
Buonanotte!
la soluzione può somigliare a questa? 
$y(x) = \frac{\sqrt{3} \tan (3 / \sqrt{3} \arctan (2x + 1) + c) + 1}{2}$
Sicuramente ho sbagliato qualcosa...grazie!!
$y(x) = \frac{\sqrt{3} \tan (3 / \sqrt{3} \arctan (2x + 1) + c) + 1}{2}$
Sicuramente ho sbagliato qualcosa...grazie!!
Si, quello è il passaggio che dicevo io. Non ho controllato i conti, eh... Ma è facile controllarli, scrivi l'equazione differenziale in Mathematica (o Maple, o anche in Wolfram Alpha) e poi digli di sostituire alla \(y\) la cosa che hai trovato tu. Se viene un'identità è giusto. Sennò è sbagliato.
Con le equazioni differenziali è così: importa solo il risultato, non come ci si arriva. Se tu trovi una funzione perché te la sogni la notte, poi la sostituisci nell'equazione e ottieni una identità, allora quella è una soluzione dell'equazione, punto. Non c'è bisogno di aggiungere altro.
Con le equazioni differenziali è così: importa solo il risultato, non come ci si arriva. Se tu trovi una funzione perché te la sogni la notte, poi la sostituisci nell'equazione e ottieni una identità, allora quella è una soluzione dell'equazione, punto. Non c'è bisogno di aggiungere altro.
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