Risolvere eq differenziale lineare, problema di cauchy

[smaug1]

$\{(y' = ((1 - x^4) / x)y + x^4), (y(2)= -2):}$

Prima di risolverlo mi sono trovato l'integrale $- \int ((1 - x^4) / x dx) = - (\int 1/x dx - \int x^3 dx) = - \log x + x^4/4$

$y(x) = e^{\log x - x^4/4} (\int e^{- \log x + x^4/4} x^4 dx )$

consigli su come risolverlo? Grazie

[gugo82]

Beh, semplifica un po' e poi prova per sostituzione (direi con \(t=x^2\)).

[smaug1]

"gugo82":Beh, semplifica un po' e poi prova per sostituzione (direi con \(t=x^2\)).

Gugo non saprei cosa semplificare, o meglio, non in modo utile..posso scrivere \(\exp (- \log x + x^4/4)\) come:
\[
\frac{\exp (x^4/4)}{\exp (\log x)}
\]

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Potrei sapere, di grazia, cosa ti spinge ad ingrandire oltre misura le formule?[/xdom]

Ad ogni modo: \(e^{\log x}=\cdots\)

[smaug1]

Le ho ingrandire perchè quando ci sono delle frazioni agli esponenti,ad esempio, non si vede benissimo, l'ho fatto per i lettori , però gugo, dimmi se è meglio o no ingrandirle.

Tornando a noi:

$\int e^{x^4/4} x^3 = e^{x^4/4} + c$

$y(x) = x / e^{x^4/4} (e^{x^4/4} + c)$ ...no?

[gugo82]

Sembra giusto... Avevo suggerito la sostituzione perché mi ero perso un segno meno davanti al logaritmo.

Per quanto riguarda la soluzione ingrandire/non ingrandire, secondo me il trucco di ingrandire la formula dovrebbe essere l'extrema ratio, l'ultima opportunità. Infatti basta imparare ad usare un po' meglio i simboli di TeX per non creare problemi con gli esponenti (cfr. il tuo post che ho modificato).

[smaug1]

Grazie per i consigli e per la pazienza...avrei comunque:

$y(x) = c (x^2 / \exp (x^4 / 4))$ se $y(2) = c (x^2 / \exp (x^4 / 4)) = -2$ trovo che $c = -1/2 e^4$

quindi $y(x) = -1/2 e^4 (x^2 / \exp (x^4 / 4))$ però dai risultati che ho dovrebbe venire $x(1 - 2\ \exp(4 - x^4 / 4))$

[smaug1]

Ho sbagliato alla grande diventa $y(x) = x + c(x / \exp (x^4/4))$

Quindi con le condizioni iniziali trovo $c= -2e^4$ che inserendolo nell'equazione, e mettendo in evidenza mi viene $y(x) = x(1 - 2\ \exp (4 - x^4 / 4))$

che mondo sarebbe senza questo forum??

Grazie gugo