Risoluzione sistemi di equazioni differenziali omogenei

[squall901]

Non riesco a trovare una dispensa circa la soluzione di un sistema di equazioni differenziali omogenee autonome. L'unico caso che so risolvere è quello in cui dato un sistema di n equazoni del primo ordine riesco a trovare n autovalori reali distinti e quindi un autospazio n dimensionale con matrice diagonalizzata, da qui calcolo la matrice esponenziale che ha su ogni elemento aii=e^tbi dove bi è un autovalore e poi mediante il prodotto tra matrici di autovettori ottengo la matrice cercata. Il problema sorge quando gli autovettori non sono n distinti. Alcuni testi suggeriscono di utilizzare il concetto di autovettore generalizzato ovvero v appartenente ad uno spazio vettoriale, diverso da vettore nullo è autovettore generalizzato s.s.e (A-bI)^m=0 cn a matrice del sistema b autovalore I matrice identità e m naturale>0. il testo dice che ad ogni iterazione m=1 m=2 ... otterrei nuovi vettori a seconda della molteplicità del autovalore. Ma per trovare gli autovalori dovrei risolvere l'equazione det((A-bI)^m) che per il teorema di binet posso scrivere (det(A-bI))^m quindi otterrei la stessa equazione elevata alla m senza trovare nuovi autovalori

[gugo82]

Esempio, please.

[squall901]

esempio
x'=3x-4y
y'=x-y.
il polinomio caratteristico è (b-1)^2=0 quindi ho l'autovalore 1 con molteplicità 2 con 1 autovettore (1;2). SE poi calcolo (det(A-bI)^2)=det(A-bI)^2 cioè (b-1)^4 b=1 come soluzione e così via..... Se cortesemente qualcuno può scrivere come si risolve. Grazie