Risoluzione sistema moltiplicatori di Lagrange
ciao a tutti,
mi trovo spesso in difficoltà nella risoluzione dei sistemi di 3 equazioni a 3 incognite dopo aver applicato il THM dei moltiplicatori di lagrange per determinare la natura dei punti critici.
$y-w(2x+y)=0$
$x-w(x+2y)=0$
$-x^2-y^2-xy+1=0$
io inizio ricavando w dalla prima e dalla seconda per poi uguagliarne il valore determinando così x o y. sostituendo nella terza ricavo i valori di x e y. ma così facendo non tralascio le soluzioni provenienti da w? ho visto che quando il sistema è di primo grado con questo procedimento trovo tutte le soluzioni, ma quì (avendo i risultati dell'esercizio) vedo che "perdo" 2 soluzioni..... qualcuno può gentilmente rinfrescarmi le idee su come risolvere questi sistemi? esiste un metodo che funziona sempre? (anche in $R^3$ o n>3)
grazie infinite,
marco
mi trovo spesso in difficoltà nella risoluzione dei sistemi di 3 equazioni a 3 incognite dopo aver applicato il THM dei moltiplicatori di lagrange per determinare la natura dei punti critici.
$y-w(2x+y)=0$
$x-w(x+2y)=0$
$-x^2-y^2-xy+1=0$
io inizio ricavando w dalla prima e dalla seconda per poi uguagliarne il valore determinando così x o y. sostituendo nella terza ricavo i valori di x e y. ma così facendo non tralascio le soluzioni provenienti da w? ho visto che quando il sistema è di primo grado con questo procedimento trovo tutte le soluzioni, ma quì (avendo i risultati dell'esercizio) vedo che "perdo" 2 soluzioni..... qualcuno può gentilmente rinfrescarmi le idee su come risolvere questi sistemi? esiste un metodo che funziona sempre? (anche in $R^3$ o n>3)
grazie infinite,
marco
Risposte
Se non ho sbagliato i conto sono arrivato all'equazione $ x( -3omega^2-2omega+1)=0 $
che ha la soluzione $x=0 $ ma anche
$ omega = -1;1/3$ .
che ha la soluzione $x=0 $ ma anche
$ omega = -1;1/3$ .
"Camillo":
Se non ho sbagliato i conto sono arrivato all'equazione $ x( -3omega^2-2omega+1)=0 $
che ha la soluzione $x=0 $ ma anche
$ omega = -1;1/3$ .
allora le soluzioni sono 4 punti critici: (1,-1) (-1,1) ($sqrt(3)/3,sqrt(3)/3$) ($-sqrt(3)/3,-sqrt(3)/3$)
davvero faccio una confusione...... e mi perdo dietro delle soluzioni. io i punti tipo 1 e meno 1 non li ho trovati ad esempio. ho trovato i 2 con la radice.....
suggerimenti sul procedimento corretto e che garantisca tutte le possibilità??
grazie infinite
Bisogna sempre ricordare che è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite e quindi se si arriva a una equazione tipo $x(1-omega)=0 $ le soluzioni sono $x=0 $ ma anche $omega=1 $ che vanno poi esplorate se conducono a soluzioni accettabili o se invece ad esempio non soddisfano il vincolo o una delle prime due equazioni.
Nel caso specifico la soluzione $x=0 $ NON è una soluzione perchè porta a $y=0$ che però non soddisfa il vincolo e a $omega=1$ che porta a $y=+-1$ ma che non soddisfa la seconda equazione.
Invece $ omega = -1 $ porta a $y=-x $ e dal vincolo si deduce che $x=+-1,y=-+1 $ e quindi due soluzioni sono i punti $(1.-1);(-1,1)$.
Inoltre $omega =1/3 $ porta a $y=x$ e infine a $x=+-sqrt(3)/3 ; y=+-sqrt(3)/3$ e quindi gli altri due punti sono $(sqrt3/3,sqrt3/3);(-sqrt3/3;-sqrt3/3).$
Nel caso specifico la soluzione $x=0 $ NON è una soluzione perchè porta a $y=0$ che però non soddisfa il vincolo e a $omega=1$ che porta a $y=+-1$ ma che non soddisfa la seconda equazione.
Invece $ omega = -1 $ porta a $y=-x $ e dal vincolo si deduce che $x=+-1,y=-+1 $ e quindi due soluzioni sono i punti $(1.-1);(-1,1)$.
Inoltre $omega =1/3 $ porta a $y=x$ e infine a $x=+-sqrt(3)/3 ; y=+-sqrt(3)/3$ e quindi gli altri due punti sono $(sqrt3/3,sqrt3/3);(-sqrt3/3;-sqrt3/3).$
"Camillo":
Bisogna sempre ricordare che è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite e quindi se si arriva a una equazione tipo $x(1-omega)=0 $ le soluzioni sono $x=0 $ ma anche $omega=1 $ che vanno poi esplorate se conducono a soluzioni accettabili o se invece ad esempio non soddisfano il vincolo o una delle prime due equazioni.
Nel caso specifico la soluzione $x=0 $ NON è una soluzione perchè porta a $y=0$ che però non soddisfa il vincolo e a $omega=1$ che porta a $y=+-1$ ma che non soddisfa la seconda equazione.
Invece $ omega = -1 $ porta a $y=-x $ e dal vincolo si deduce che $x=+-1,y=-+1 $ e quindi due soluzioni sono i punti $(1.-1);(-1,1)$.
Inoltre $omega =1/3 $ porta a $y=x$ e infine a $x=+-sqrt(3)/3 ; y=+-sqrt(3)/3$ e quindi gli altri due punti sono $(sqrt3/3,sqrt3/3);(-sqrt3/3;-sqrt3/3).$
intanto ti ringrazio camillo per la tua risposta. quello che sottolinei tu lo ho capito, invece il mio problema sta nei passi algebrici per arrivare a:
Bisogna sempre ricordare che è un sistema di 3 equazioni in 3 incognite e quindi se si arriva a una equazione tipo $x(1-omega)=0 $
ad esempio io trovo w in funzione di x e y dalle prime due, uguaglio le due funzioni di x e y e ricavo x e y. le inserisco nella terza e verifico che siano effettivamente soluzioani. però poi mi fermo qui, ed ottengo solo i due punti che ti ho detto, quelli con la radice, dimenticandomi dei punti (1, -1) e (-1,1). qual'è il passaggio che salto?
grazie ancora
Dalla prima equazione puoi ricavare $y $ in funzione di $x, omega$ cioè $y= 2omega x/(1-omega)$ [ si è già visto che $omega=1$ non porta a nessuna soluzione].
Sostituendo nella seconda si ottiene $x(-3omega^2-2omega+1)=0 $ .
$ x=0 $ non porta a soluzioni accettabili , quindi resta da considerare $omega = -1 $ e $ omega =1/3$.
Inserendo $omega= -1 $ nella prima equazione si ottiene $ y=-x$ che a sua volta sostituito nell’ultima equazione dà $x^2=1 $ da cui $x=+-1 $.
Le soluzioni sono quindi $x=+-1, y=-+1 $ .
In conclusione i punti sono $(1,-1) ;(-1,1) $ .
Analogamente si opera con $omega=1/3 $ e si trovano gli altri punti.
Sostituendo nella seconda si ottiene $x(-3omega^2-2omega+1)=0 $ .
$ x=0 $ non porta a soluzioni accettabili , quindi resta da considerare $omega = -1 $ e $ omega =1/3$.
Inserendo $omega= -1 $ nella prima equazione si ottiene $ y=-x$ che a sua volta sostituito nell’ultima equazione dà $x^2=1 $ da cui $x=+-1 $.
Le soluzioni sono quindi $x=+-1, y=-+1 $ .
In conclusione i punti sono $(1,-1) ;(-1,1) $ .
Analogamente si opera con $omega=1/3 $ e si trovano gli altri punti.
Operando come dici tu, ricavo $omega$ in funzione di $x,y$ dalla prima e faccio lo stesso con la seconda e uguaglio i valori di $ omega $ ottenuti nei due modi e si ha : $ y^2=x^2 $.
quindi $y=x ; y=-x $.
Sostituendo la prima eguaglianza nell'equazione del vincolo ottengo $ -3x^2=-1 $ e quindi $x= +- sqrt3/3; y=+-sqrt3/3 $ e di conseguenza i punti $(sqrt3/3, sqrt3/3) $ e $ (-sqrt3/3,-sqrt3/3)$.
Sostituendo la seconda eguaglianza nell'equazione del vnicolo si ottiene :$ x^2 =1 $ da cui $x=+-1 ; y=-+1 $ e infine i punti $(1,-1)$ e $(-1,1)$.
quindi $y=x ; y=-x $.
Sostituendo la prima eguaglianza nell'equazione del vincolo ottengo $ -3x^2=-1 $ e quindi $x= +- sqrt3/3; y=+-sqrt3/3 $ e di conseguenza i punti $(sqrt3/3, sqrt3/3) $ e $ (-sqrt3/3,-sqrt3/3)$.
Sostituendo la seconda eguaglianza nell'equazione del vnicolo si ottiene :$ x^2 =1 $ da cui $x=+-1 ; y=-+1 $ e infine i punti $(1,-1)$ e $(-1,1)$.
"Camillo":
Operando come dici tu, ricavo $omega$ in funzione di $x,y$ dalla prima e faccio lo stesso con la seconda e uguaglio i valori di $ omega $ ottenuti nei due modi e si ha : $ y^2=x^2 $.
quindi $y=x ; y=-x $.
Sostituendo la prima eguaglianza nell'equazione del vincolo ottengo $ -3x^2=-1 $ e quindi $x= +- sqrt3/3; y=+-sqrt3/3 $ e di conseguenza i punti $(sqrt3/3, sqrt3/3) $ e $ (-sqrt3/3,-sqrt3/3)$.
Sostituendo la seconda eguaglianza nell'equazione del vnicolo si ottiene :$ x^2 =1 $ da cui $x=+-1 ; y=-+1 $ e infine i punti $(1,-1)$ e $(-1,1)$.
adesso ho capito dove sbagliavo, non consideravo le giuste soluzioni di $x^2=y^2$!! brutte lacune. ti ringrazio infinitamente.
marco
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