Risoluzione sistema: eq differenziali + c.i.

[*Ely112]

Ciao, trattando l'eco di fotoni devo svolgere qualche conto.

Diciamo che ad un certo punto ottengo un sistema dato dalle 3 equazioni:
\(\displaystyle
\frac{dr_1}{dt}=0 ; \qquad \frac{dr_2}{dt}=-\omega _1 r_3 ; \qquad \frac{dr_3}{dt}=\omega _1 r_2 \)

le condizioni iniziali (c.i.) sono:
\(\displaystyle
r_1(0)=0; \qquad r_2(0)=0; \qquad r_3(0)=-1
\)

devo trovare \(\displaystyle r_3 \) ed \(\displaystyle r_2 \).

Procedo così: dalla prima eq. ricavo che \(\displaystyle r_1 = cost. = 0 \). Considero le altre due eq.: faccio la derivata seconda di \(\displaystyle r_3 \) ed \(\displaystyle r_2 \) rispetto al tempo -> ottengo due equazioni differenziali del 2°ordine omogenee:
\(\displaystyle
\frac{d^2r_2}{dt^2}=-\omega _1^2 r_2 \\
\frac{d^2r_3}{dt^2}=-\omega _1^2 r_3
\)

Se fin qui è ok, domanda: trovo la soluzione delle due eq. diff. scrivendo il polinomio associato, poi inserisco le c.i. ?

[dissonance]

Si dai comunque sono equazioni facili, sono oscillatori armonici. La soluzione generale è una somma di seni e coseni di frequenza \(\omega_1\). Puoi scrivere così:
\[
r_2(t)=A\cos(\omega_1 t) + B \sin (\omega_1 t)\]
con parametri liberi \(A, B\), oppure così
\[
r_2(t)=A\cos(\omega_1 t + \phi), \]
con parametri liberi \(A, \phi\). (La seconda forma si usa molto in ingegneria elettronica credo). Volendo ci sarebbe anche una formulazione con esponenziali complessi ma non credo ti serva.