Risoluzione sistema doppio

[gcan]

$ { ( (2x)(x^2+2y^2+1)-(x^2+y)(2x)=0 ),( (x^2+2y^2+1)-(x^2+y)(4y)=0 ):} $
Con quale metodo posso risolvere questo sistema, ho bisogno di trovare i punti stazionari, grazie

[Plepp]

C'è da distinguere qualche caso...per $x=0$ la prima equazione è soddisfatta, e la seconda diventa
\[1-3y^2=0\]
ed ammette le due soluzioni $y=\pm \sqrt{1/3}$. Se $x\ne 0$, la prima equazione si può riscrivere come
\[x^2+2y^2+1=x^2+y\]
e poi...continua tu ché devo scappare all'università

[gcan]

Se x è diverso da 0 la seconda eq. Diventa $ y(1-2y)=x^2+1$ allora provo a vedere se y=0 cosa succede ma, l'equazione diventa impossibile perché x è diverso da -1. Ora ? Mi fermo ai punti che ho trovato prima: A $ (0,sqrt3/3) $ e B $ (0,-sqrt3/3) $ ?

[Plepp]

No...se $x\ne 0$ il sistema diventa
\[
\begin{cases}
x^2+2y^2+1=x^2+y\\
x^2+2y^2+1=4y(x^2+y)
\end{cases}
\]
Deduci quindi che dev'essere
\[4y(x^2+y)=(x^2+y)\iff (4y-1)(x^2+y)=0\]
ovvero deve essere $y=-x^2$ oppure $y=1/4$: sono punti critici quelli della parabola di equazione $y=-x^2$ e della retta di equazione $y=1/4$ private dei loro punti di ascissa zero.