Risoluzione sistema a 2 variabili

[lorenzo1234567]

Buongiorno,
devo trovare l'equazione implicita del piano tangente nel punto $(1/2,1/2,1/2)$ al sostegno di una superficie parametrica $Phi(u,v)=(sin u cos v, sin u sin v, cos^2v)$ definita su $[0,1]^2$.

Il problema è che non riesco a risolvere il sistema $ { ( sinucosv = 1/2 ),( sinusinv = 1/2 ),( cos^2v = 1/2 ):} $ . Ho provato per sostituzione, ho provato ad applicare qualche formula trigonometrica e ho provato risolvendo per prima $cos^2v=1/2$ ma non ho ottenuto niente di utile. Come devo fare?

[Flamber]

$ { ( sinucosv = 1/2 ),( sinusinv = 1/2 ),( cos^2v = 1/2 ):} $ $ { ( 1/sqrt(2)sinu = 1/2 ),( sinusinv = 1/2 ),( cosv = 1/sqrt(2) ):} $

$ { ( sinu = sqrt(2)/2 ),( sinusinv = 1/2 ),( cosv = 1/sqrt(2) ):} $ $ { ( u = pi/4 ),( sqrt(2)/2sinv = 1/2 ),( cosv = 1/sqrt(2) ):} $

$ { ( u = pi/4 ),( sinv = 1/sqrt(2) ),( cosv = 1/sqrt(2) ):} $ $ { ( u = pi/4 ),( sinv = sqrt(2)/2 ),( cosv = sqrt(2)/2 ):} rarr { ( u = pi/4 ),( v = pi/4 ):}$

[lorenzo1234567]

"Flamber":$ { ( sinucosv = 1/2 ),( sinusinv = 1/2 ),( cos^2v = 1/2 ):} $ $ { ( 1/sqrt(2)sinu = 1/2 ),( sinusinv = 1/2 ),( cosv = 1/sqrt(2) ):} $

Il problema è proprio qui. Perchè $cos^2v=1/2$ diventa $cosv=1/sqrt(2)$ invece di $cosv=+- 1/sqrt(2)$? Che quindi "darebbe" come angoli $v=pi/4$, $v=3pi/4$, $v=5pi/4$ e via dicendo.

[Flamber]

Ma la funzione parametrica è definita solo su $[0,1]X[0,1]$