Risoluzione sistema

[MISTERCEC]

Partendo da questo sistema:
x'=ax+by+c
y'=a'x+b'y+c'
Tale che sia un isometria
come si dimostra che:
a=cos(alfa)
a'=sin(alfa)
b=-sin(alfa)
b'=cos(alfa)
ab'-a'b diverso da 0

miglior risposta a chi mi aiuta scrivendo tutti i passaggi grazie mille

[davi02]

Supponiamo che

[math]r(x,y) = (ax+by+c, dx+ey+f)[/math]

sia un’isometria di

[math]R^2[/math]

.
Calcoliamo

[math]r(0,0) = (c, f)[/math]

[math]r(1,0) = (a+c, d+f)[/math]

[math]r(0,1) = (b+c, e+f)[/math]

[math]r(1,1) = (a+b+c, c+d+f)[/math]

e poiché

[math]r[/math]

è un’isometria

[math]dist((a+c, d+f), (c, f)) = dist((1,0), (0,0))[/math]

[math]dist((b+c, e+f), (c, f)) = dist((0,1), (0,0))[/math]

[math]dist((a+b+c, d+e+f), (c, f)) = dist((1,1), (0,0))[/math]

Applicando la formula della distanza queste due equazioni diventano

[math]a^2+d^2 = 1 \qquad (1)[/math]

[math]b^2+e^2 = 1 \qquad (2)[/math]

[math](a+b)^2+(d+e)^2 = 2 \qquad (3)[/math]

Sottraendo (1) e (2) da (3) otteniamo

[math]ab+de = 0 \qquad (4)[/math]

Da (1) e (2) segue che esistono due angoli

[math]0 \le \alpha, \beta < 2\pi[/math]

tali che

[math] a = \cos \alpha, d = \sin \alpha[/math]

[math] b = \cos \beta, e = \sin \beta[/math]

Queste relazioni sostituite in (4) danno

[math]\cos(\alpha - \beta) = 0[/math]

, quindi

[math]\beta = \alpha + (2k+1)\pi/2[/math]

, con

[math]k[/math]

numero intero.
Se

[math]k[/math]

è pari allora

[math] a = \cos \alpha, d = \sin \alpha[/math]

[math] b = -\sin \alpha, e = \cos \alpha[/math]

con

[math]ae - bd = 1[/math]

, mentre se

[math]k[/math]

è dispari allora

[math] a = \cos \alpha, d = \sin \alpha[/math]

[math] b = \sin \alpha, e = -\cos \alpha[/math]

con

[math]ae - bd = -1[/math]

.