Risoluzione sistema
Devo trovare i massimi e minimi assoluti di $f(x,y)=2x^2+y^2-y$ in $E={(x,y)\inRR^2|x^2+y^2/9<=1}$
Con lagrange: $L=2x^2+y^2-y-\lambda(x^2+y^2/9-1)$
$\{(4x-2\lambdax=0),(2y-1-2/9\lambday=0),(-x^2-y^2/9+1+1=0):}$
Prima ho risolto trovando $y=1/2$ e $x=0$ grazie ai raccoglimenti delle prime due, confermando $1=1$ con la terza equazione.
Poi ho provato rispetto la prima con $\lambda=2$ risolvendo la seconda trovando $y=9/14$ ma con la terza equazione non mi tornava il risultato, quindi l'ho cacciata via.
Infine con $\lambda=9$ dalla seconda equazione trovando $x=0$ rispetto la prima, e $y=+-3$ rispetto l'ultima. Per conferma ho guardato con $x=0, y=3, \lambda=9$ se tornava il risultava verificata la seconda equazione (da dove ho tirato fuori il \lambda) e non tornava, infatti veniva $6-1-6=0$; ma uguale per il secondo tentativo con $x=0, y=-3, \lambda=9$ mi torna $-6-1+6=0$ ma io devo avere come secondo punto $(0,-3)$ che deve essere un punto di massimo assoluto.
Cosa ho sbagliato? Per vedere se i punti sono effettivamente $(0,+-3)$ non devo verificare con l'equazione che non ho utilizzato o da dove ho tirato fuori il lambda?
Con lagrange: $L=2x^2+y^2-y-\lambda(x^2+y^2/9-1)$
$\{(4x-2\lambdax=0),(2y-1-2/9\lambday=0),(-x^2-y^2/9+1+1=0):}$
Prima ho risolto trovando $y=1/2$ e $x=0$ grazie ai raccoglimenti delle prime due, confermando $1=1$ con la terza equazione.
Poi ho provato rispetto la prima con $\lambda=2$ risolvendo la seconda trovando $y=9/14$ ma con la terza equazione non mi tornava il risultato, quindi l'ho cacciata via.
Infine con $\lambda=9$ dalla seconda equazione trovando $x=0$ rispetto la prima, e $y=+-3$ rispetto l'ultima. Per conferma ho guardato con $x=0, y=3, \lambda=9$ se tornava il risultava verificata la seconda equazione (da dove ho tirato fuori il \lambda) e non tornava, infatti veniva $6-1-6=0$; ma uguale per il secondo tentativo con $x=0, y=-3, \lambda=9$ mi torna $-6-1+6=0$ ma io devo avere come secondo punto $(0,-3)$ che deve essere un punto di massimo assoluto.
Cosa ho sbagliato? Per vedere se i punti sono effettivamente $(0,+-3)$ non devo verificare con l'equazione che non ho utilizzato o da dove ho tirato fuori il lambda?
Risposte
Basta fare la verifica in alto modo, ad esempio graficamente.
La funzione da ottimizzare è \(f(x,y):=2x^2+y^2-y\) e l'insieme base \(E\) è la regione interna all'ellisse di equazione \(x^2+y^2/9=1\), la quale ha centro in \((0,0)\) e semiassi \(a=1\) e \(b=3\) giacenti lungo gli assi coordinati.
Dato che:
\[
f(x,y) = 2x^2 + \left( y-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}
\]
è evidente che \(f(x,y)\geq -1/4\) per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\); fissato allora \(k\geq -1/4\), consideriamo la famiglia delle curve di livello:
\[
\Gamma (k) := \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ f(x,y)=k \right\}\; :
\]
chiaramente, se \(k=-1/4\), la curva \(\Gamma (-1/4)\) si riduce al solo punto \((0,1/2)\), mentre se \(k>-1/4\), data la forma di \(f\), la \(\Gamma (k)\) equazione cartesiana:
\[
\begin{split}
2x^2 + \left( y-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = k \quad &\Leftrightarrow \quad 2x^2 + \left( y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{4k+1}{4} \\ &\Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{\frac{4k+1}{8}} + \frac{\left( y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{4k+1}{4}} =1
\end{split}
\]
perciò è un'ellisse con centro in \((0,1/2)\), assi paralleli agli assi coordinati, e semiassi \(b=\frac{\sqrt{4k+1}}{2}\) ed \(a= \sqrt{\frac{4k+1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2} b
Disegnamo allora sullo stesso grafico l'insieme \(E\) (ellisse in rosso) e la famiglia di curve \(\Gamma (k)\) (ellissi colorate):
[asvg]axes("","");
stroke="grey"; marker="arrow"; line([0,0.5],[5,5]);
stroke="red"; strokewidth=2; ellipse([0, 0], 1, 3);
strokewidth=1;
stroke="black"; dot([0,0.5]);
stroke="purple"; ellipse([0,0.5],0.707,1);
stroke="blue"; ellipse([0,0.5],1.061,1.5);
stroke="dodgerblue"; ellipse([0,0.5], 1.768,2.5);
stroke="cyan"; ellipse([0,0.5], 2.475,3.5);
stroke="pink"; ellipse([0,0.5], 3.535,5);
stroke="grey"; marker="arrow"; line([0,0.5],[5,5]);[/asvg]
e notiamo quanto segue:
La funzione da ottimizzare è \(f(x,y):=2x^2+y^2-y\) e l'insieme base \(E\) è la regione interna all'ellisse di equazione \(x^2+y^2/9=1\), la quale ha centro in \((0,0)\) e semiassi \(a=1\) e \(b=3\) giacenti lungo gli assi coordinati.
Dato che:
\[
f(x,y) = 2x^2 + \left( y-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}
\]
è evidente che \(f(x,y)\geq -1/4\) per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\); fissato allora \(k\geq -1/4\), consideriamo la famiglia delle curve di livello:
\[
\Gamma (k) := \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ f(x,y)=k \right\}\; :
\]
chiaramente, se \(k=-1/4\), la curva \(\Gamma (-1/4)\) si riduce al solo punto \((0,1/2)\), mentre se \(k>-1/4\), data la forma di \(f\), la \(\Gamma (k)\) equazione cartesiana:
\[
\begin{split}
2x^2 + \left( y-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} = k \quad &\Leftrightarrow \quad 2x^2 + \left( y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{4k+1}{4} \\ &\Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{\frac{4k+1}{8}} + \frac{\left( y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{4k+1}{4}} =1
\end{split}
\]
perciò è un'ellisse con centro in \((0,1/2)\), assi paralleli agli assi coordinati, e semiassi \(b=\frac{\sqrt{4k+1}}{2}\) ed \(a= \sqrt{\frac{4k+1}{8}} = \frac{\sqrt{2}}{2} b
Disegnamo allora sullo stesso grafico l'insieme \(E\) (ellisse in rosso) e la famiglia di curve \(\Gamma (k)\) (ellissi colorate):
[asvg]axes("","");
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stroke="cyan"; ellipse([0,0.5], 2.475,3.5);
stroke="pink"; ellipse([0,0.5], 3.535,5);
stroke="grey"; marker="arrow"; line([0,0.5],[5,5]);[/asvg]
e notiamo quanto segue:
- [*:18h4obet] man mano che \(k\) cresce le curve \(\Gamma (k)\) si allargano verso l'infinito (nel verso della freccia grigia), partendo dal punto \((0,1/2)\) che coincide con \(\Gamma (-1/4)\);
[/*:m:18h4obet]
[*:18h4obet] per valori di \(k\) prossimi a zero la \(\Gamma (k)\) è tutta contenuta in \(E\);
[/*:m:18h4obet]
[*:18h4obet] per un certo valore \(k=\kappa_1\) la curva \(\Gamma (\kappa_1)\) è contenuta in \(E\) ed è tangente a \(\partial E\);
[/*:m:18h4obet]
[*:18h4obet] facendo crescere un po' \(k\) vediamo che \(\Gamma (k)\) ha solo due "trattini" contenuti in \(E\) ed ha in comune con \(\partial E\) quattro punti distinti;
[/*:m:18h4obet]
[*:18h4obet] per un certo valore \(k=\kappa_2>\kappa_1\) la curva \(\Gamma (\kappa_2)\) ha solo un "trattino" contenuto in \(E\) ed ha in comune con \(\partial E\) soli tre punti (in particolare, \(\Gamma (\kappa_2)\) è tangente a \(\partial E\) nel vertice superiore);
[/*:m:18h4obet]
[*:18h4obet] facendo crescere un po' \(k\), vediamo che \(\Gamma (k)\) ha solo un "trattino" contenuto in \(E\) ed ha in comune con \(\partial E\) due soli punti;
[/*:m:18h4obet]
[*:18h4obet] per un certo valore \(k=\kappa_3>\kappa_2\), la curva \(\Gamma (\kappa_3)\) non ha più alcun punto nell'interno di \(E\) ed ha in comune con \(\partial E\) solo un punto, in particolare il vertice inferiore \((-3,0)\);
[/*:m:18h4obet]
[*:18h4obet] per \(k>\kappa_3\) la curva \(\Gamma (k)\) non ha più alcun punto in comune con \(E\) (né con \(\partial E\)).[/*:m:18h4obet][/list:u:18h4obet]
Il fatto che \(\Gamma (\kappa_3) \cap E =\{(0,-3)\}\) implica che \((0,-3)\in E\) ed \(f(0,-3)=\kappa_3\), mentre il fatto che \(\Gamma (k)\cap E =\varnothing\) per \(k>\kappa_3\) equivale a dire che non esiste alcun punto \((x,y)\in E\) tale che \(f(x,y)=k>\kappa_3\); pertanto possiamo concludere che \(\max_E f = \kappa_3 = f(0,-3)\).
Analogamente, dato che \(\Gamma (-1/4) \cap E = \{(0,0.5)\}\), si ha \((0,0.5)\in E\) ed \(f(0,0.5)=-1/4\), mentre per \(k<-1/4\) si ha \(\Gamma (k) \cap E =\varnothing\) (perché in realtà \(\Gamma (k)=\varnothing\)), sicché non esiste in \(E\) alcun punto \((x,y)\) tale che \(f(x,y)=k<-1/4\); perciò è certamente \(\min_E f = -1/4 = f(0,1/5)\).
Oddio...Ma che...?! O_O
Anche dicendo di aver capito quello che hai fatto, cosa che non è del tutto esatta, questo sarebbe un esercizio da esame (di 2 ore in tutto) e dubito fortemente che devo fare sti conti per verificare se è giusto il punto $(0,3)$ o il punto $(0,-3)$ o entrambi. Io so già che il punto giusto è $(0,-3)$ ma solo perchè ho l'esame risolto davanti con i risultati.
C'è un metodo molto più spiccio e più umano per verificarlo??
Anche dicendo di aver capito quello che hai fatto, cosa che non è del tutto esatta, questo sarebbe un esercizio da esame (di 2 ore in tutto) e dubito fortemente che devo fare sti conti per verificare se è giusto il punto $(0,3)$ o il punto $(0,-3)$ o entrambi. Io so già che il punto giusto è $(0,-3)$ ma solo perchè ho l'esame risolto davanti con i risultati.
C'è un metodo molto più spiccio e più umano per verificarlo??
Io direi che, per prima cosa, bisogna vedere cosa capita all'interno di $E$. Calcolando il gradiente di $f$ e ponendo il tutto uguale a zero, si ha il sistema di equazioni $2x=0,\ 2y-1=0$ da cui $x=0,\ y=1/2$. Il punto $A(0,1/2)$ è interno ad $E$ e calcolando l'Hessiana di $f$ si deduce che $H(0,1/2)=4>0$ mentre $f_{x x}=2>0$, e quindi la funzione presenta un minimo assoluto nel punto $A$ (che vale $-1/4$).
Per quanto riguarda il bordo dell'ellisse, possiamo parametrizzarla al modo seguente $x=\cos t,\ y=3\sin t,\ t\in[0,2\pi]$ così da ottenere la nuova funzione $F(t)=2\cos^2 t+9\sin^2 t-3\sin t$. Derivando si ha
$$F'(t)=-4\sin t \cos t+18\sin t \cos t-3\cos t=\cos t(14\sin t- 3)$$
e studiando i massimi e minimi, si trovano minimi per $t=\alpha,\ t=\pi-\alpha$ (essendo $\sin \alpha=3/{14}$) e massimi per $t=\pi/2,\ t={3\pi}/2$. I punti corrispondenti risultano
$$m_1\left(\frac{\sqrt{187}}{14},\frac{9}{14}\right),\qquad m_2\left(-\frac{\sqrt{187}}{14},\frac{9}{14}\right)$$
per i minimi, e
$$M_1(0,3),\qquad M_3(0,-3)$$
per i massimi.
P.S.: la discussione di Gugo è in sostanza simile a questa, posso capire che ti spaventi, ma ti assicuro che è una cosa da quindici minuti netti, mentre quella di fare tutti i conti può portarti via anche più tempo!
Per quanto riguarda il bordo dell'ellisse, possiamo parametrizzarla al modo seguente $x=\cos t,\ y=3\sin t,\ t\in[0,2\pi]$ così da ottenere la nuova funzione $F(t)=2\cos^2 t+9\sin^2 t-3\sin t$. Derivando si ha
$$F'(t)=-4\sin t \cos t+18\sin t \cos t-3\cos t=\cos t(14\sin t- 3)$$
e studiando i massimi e minimi, si trovano minimi per $t=\alpha,\ t=\pi-\alpha$ (essendo $\sin \alpha=3/{14}$) e massimi per $t=\pi/2,\ t={3\pi}/2$. I punti corrispondenti risultano
$$m_1\left(\frac{\sqrt{187}}{14},\frac{9}{14}\right),\qquad m_2\left(-\frac{\sqrt{187}}{14},\frac{9}{14}\right)$$
per i minimi, e
$$M_1(0,3),\qquad M_3(0,-3)$$
per i massimi.
P.S.: la discussione di Gugo è in sostanza simile a questa, posso capire che ti spaventi, ma ti assicuro che è una cosa da quindici minuti netti, mentre quella di fare tutti i conti può portarti via anche più tempo!
Vabbé, vuoi proprio fare per forza i conti?
I conti, se si possono evitare, è meglio evitarli, no? (Soprattutto per gli ingegneri, perché devono imparare a non perdere tempo in calcoli inutili.)
Innanzitutto, il minimo interno, cioé il punto \((0,1/2)\), lo trovi annullando il gradiente e calcolando l'hessiano.
Dato che quello lì è l'unico punto stazionario interno ed è un minimo, il massimo sarà assunto sulla frontiera.
Sulla frontiera applichi Lagrange che ti fornisce il sistema:
\[
\left\{ \begin{split} 4x-2\lambda x &=0\\ 2y-1-2/9\lambda y &=0 \\ -x^2-y^2/9+1 & =0\end{split}\right.
\]
Dalla prima, \(x=0\) oppure \(\lambda=2\); in corrispondenza di \(x=0\), dalla terza ricavo \(y=\pm 3\) che sostituita nella seconda mi dà:
\[
\pm 2 -1 \mp \frac{4}{9}\lambda =0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{9}{4}, \frac{27}{4}
\]
quindi ho trovato due punti stazionari della lagrangiana, cioé \((0,3,9/4)\) e \((0,-3,27/4)\); in corrispondenza di \(\lambda = 2\) sostituisco nella seconda e trovo \(2y-1-4/9 y=0\) ossia \(y=9/14\) e sostituendo nella terza becco \(x=\pm \frac{\sqrt{187}}{14}\), dunque ho altri due punti stazionari della lagrangiana \((\frac{\sqrt{187}}{14} , 9/14,2)\) e \((-\frac{\sqrt{187}}{14} , 9/14,2)\).
Per il teorema di Lagrange, so che il minimo ed il massimo di \(f\) sulla frontiera li trovo in corrispondenza delle prime due coordinate di uno dei quattro punti stazionari della lagrangiana, dunque o in \((0,3)\) o in \((0,-3)\) o in \((\frac{\sqrt{187}}{14},9/14)\) o in \((-\frac{\sqrt{187}}{14} ,9/14)\); calcolare e confrontare i valori assunti da \(f\) in tali punti non è proibitivo e lo lascio a te, come quello di controllare i miei conti (che non sono ingegnere, quindi a fare conti inutili sbaglio ben più di loro...
)
***
Un altro modo di procedere è il seguente.
Il significato geometrico del teorema di Lagrange è questo: i punti di massimo e minimo di una funzione sulla frontiera di un insieme regolare sono presi lì dove il gradiente di \(f\) è ortogonale alla frontiera, cioé laddove il vettore normale alla curva ed il gradiente della \(f\) sono paralleli.
Visto che la frontiera di \(E\) è data attraverso un equazione implicita, i.e. \( g(x,y):=x^2 + 1/9 y^2-1=0\), per il teorema del Dini si può affermare che il vettore normale a \(\partial E\) in un suo punto \((x,y)\) è dato dal gradiente di \(g\), i.e. è \(\nabla g(x,y) =(2x , 2/9 y)\); d'altro canto il gradiente di \(f\) in un generico punto di \(\partial E\) è \(\nabla f(x,y) = (4x,2y-1)\); i due vettori così determinati sono paralleli solo se è nullo il loro determinante, cioé se:
\[
\begin{vmatrix} 2x & \frac{2}{9} y \\ 4x & 2y-1\end{vmatrix} =0 \quad \Rightarrow \quad 2x \left( \frac{14}{9} y -1\right) =0\; ;
\]
la precedente importa che o \(x=0\) oppure \(y=9/14\); conseguentemente, sfruttando l'equazione del vincolo, si ottengono i quattro candidati ad essere estremi per \(f\):
\[
(0,\pm 3) \text{ e } \left( \pm \frac{\sqrt{187}}{14}, \frac{9}{14}\right)
\]
e confrontare i valori assunti da \(f\) in tali punti non mi pare proibitivo.
I conti, se si possono evitare, è meglio evitarli, no? (Soprattutto per gli ingegneri, perché devono imparare a non perdere tempo in calcoli inutili.)
Innanzitutto, il minimo interno, cioé il punto \((0,1/2)\), lo trovi annullando il gradiente e calcolando l'hessiano.
Dato che quello lì è l'unico punto stazionario interno ed è un minimo, il massimo sarà assunto sulla frontiera.
Sulla frontiera applichi Lagrange che ti fornisce il sistema:
\[
\left\{ \begin{split} 4x-2\lambda x &=0\\ 2y-1-2/9\lambda y &=0 \\ -x^2-y^2/9+1 & =0\end{split}\right.
\]
Dalla prima, \(x=0\) oppure \(\lambda=2\); in corrispondenza di \(x=0\), dalla terza ricavo \(y=\pm 3\) che sostituita nella seconda mi dà:
\[
\pm 2 -1 \mp \frac{4}{9}\lambda =0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{9}{4}, \frac{27}{4}
\]
quindi ho trovato due punti stazionari della lagrangiana, cioé \((0,3,9/4)\) e \((0,-3,27/4)\); in corrispondenza di \(\lambda = 2\) sostituisco nella seconda e trovo \(2y-1-4/9 y=0\) ossia \(y=9/14\) e sostituendo nella terza becco \(x=\pm \frac{\sqrt{187}}{14}\), dunque ho altri due punti stazionari della lagrangiana \((\frac{\sqrt{187}}{14} , 9/14,2)\) e \((-\frac{\sqrt{187}}{14} , 9/14,2)\).
Per il teorema di Lagrange, so che il minimo ed il massimo di \(f\) sulla frontiera li trovo in corrispondenza delle prime due coordinate di uno dei quattro punti stazionari della lagrangiana, dunque o in \((0,3)\) o in \((0,-3)\) o in \((\frac{\sqrt{187}}{14},9/14)\) o in \((-\frac{\sqrt{187}}{14} ,9/14)\); calcolare e confrontare i valori assunti da \(f\) in tali punti non è proibitivo e lo lascio a te, come quello di controllare i miei conti (che non sono ingegnere, quindi a fare conti inutili sbaglio ben più di loro...
)***
Un altro modo di procedere è il seguente.
Il significato geometrico del teorema di Lagrange è questo: i punti di massimo e minimo di una funzione sulla frontiera di un insieme regolare sono presi lì dove il gradiente di \(f\) è ortogonale alla frontiera, cioé laddove il vettore normale alla curva ed il gradiente della \(f\) sono paralleli.
Visto che la frontiera di \(E\) è data attraverso un equazione implicita, i.e. \( g(x,y):=x^2 + 1/9 y^2-1=0\), per il teorema del Dini si può affermare che il vettore normale a \(\partial E\) in un suo punto \((x,y)\) è dato dal gradiente di \(g\), i.e. è \(\nabla g(x,y) =(2x , 2/9 y)\); d'altro canto il gradiente di \(f\) in un generico punto di \(\partial E\) è \(\nabla f(x,y) = (4x,2y-1)\); i due vettori così determinati sono paralleli solo se è nullo il loro determinante, cioé se:
\[
\begin{vmatrix} 2x & \frac{2}{9} y \\ 4x & 2y-1\end{vmatrix} =0 \quad \Rightarrow \quad 2x \left( \frac{14}{9} y -1\right) =0\; ;
\]
la precedente importa che o \(x=0\) oppure \(y=9/14\); conseguentemente, sfruttando l'equazione del vincolo, si ottengono i quattro candidati ad essere estremi per \(f\):
\[
(0,\pm 3) \text{ e } \left( \pm \frac{\sqrt{187}}{14}, \frac{9}{14}\right)
\]
e confrontare i valori assunti da \(f\) in tali punti non mi pare proibitivo.
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