Risoluzione Serie Numerica

[bagnuoli.alex]

Salve a tutti,

non riesco a risolvere questa Serie Numerica. Mi potete aiutare?

$\sum_{n=2}^\infty ((2n)^(2n))/(BINOMIALE(2n)su(n))$

PS: non so come si scrive il binomiale! XD ...

[Noisemaker]

tipica serie da criterio del rapporto
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(2n)^{2n}}{\displaystyle\binom{2n}{n} }
\end{align}
ricordando che:
\[{n \choose k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
nel nostro coso avremo:
\begin{align}
\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(2n)^{2n}}{\displaystyle\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} }
=\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(2n)^{2n}(n!)^2 }{(2n)! }&\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty} \frac{(2n+2)^{2n+2}((n+1)!)^2 }{(2n+2)! }\cdot\frac{(2n)!}{(2n)^{2n}(n!)^2}\\
&=\lim_{n\to+\infty} \frac{(2n +2)^{2n }\cdot(2n +2)^{2 }\cdot( n+1 )^2\cdot (n!)^2 }{(2n)!(2n+2) (2n+1) }\cdot\frac{(2n)!}{(2n)^{2n}(n!)^2}\\
&=\lim_{n\to+\infty} \frac{(2n +2)^{2 }\cdot( n+1 )^2 }{ (2n+2) (2n+1) }\cdot\frac{ (2n +2)^{2n } }{(2n)^{2n} }\\
&\sim\lim_{n\to+\infty} \frac{4n^4 }{4n^2 }\cdot\left(\frac{ 2n +2 }{ 2n }\right)^{2n }=\lim_{n\to+\infty} n^2\cdot\left(1+\frac{ 1 }{ n }\right)^{2n }=+\infty\to\mbox{diverge}
\end{align}

[Seneca1]

Ricordo che è necessario sforzarsi di non fornire la soluzione intera e comprensiva di conti...

[totissimus]

Tipica serie da criterio del confronto:

ricordando che \( \displaystyle \binom{m}{k}\leq 2^m\)

abbiamo dunque \(\displaystyle \frac{(2n)^{2n}}{\binom{2n}{n}}\geq \frac{(2n)^{2n}}{2^{2n}}=n^{2n}\)