Risoluzione semplice problema di cauchy
ciao a tutti
un esercizio mi chiede di determinare il grafico vicino all origine della soluzione del problema di cauchy seguente:
y'= x-2 -3e^(-y)
y(0)=1
come si puo sviluppare il problema?
come variabili separabili?
o come lineare non omo?
grazie a tutti
un esercizio mi chiede di determinare il grafico vicino all origine della soluzione del problema di cauchy seguente:
y'= x-2 -3e^(-y)
y(0)=1
come si puo sviluppare il problema?
come variabili separabili?
o come lineare non omo?
grazie a tutti
Risposte
Ciao,
l'equazione non è a variabili separabili e nemmeno lineare, per via del termine esponenziale. Il testo suggerisce di trovare una soluzione approssimata vicino all'origine. L'unica cosa che mi viene in mente è quella di espandere in serie di Taylor il termine $-3e^(-y)$ per $y=1+h$ (considerando $h$ "piccolo") e tenendo solo i termini lineari (in $h$) dovresti ottenere un'equazione lineare (per $h$) facilmente risolvibile.
l'equazione non è a variabili separabili e nemmeno lineare, per via del termine esponenziale. Il testo suggerisce di trovare una soluzione approssimata vicino all'origine. L'unica cosa che mi viene in mente è quella di espandere in serie di Taylor il termine $-3e^(-y)$ per $y=1+h$ (considerando $h$ "piccolo") e tenendo solo i termini lineari (in $h$) dovresti ottenere un'equazione lineare (per $h$) facilmente risolvibile.
Sempre lì che pensate a integrare le equazioni... mai pensato di derivarle? 
Perdonate la battuta (sciocca). Quello che voglio dirti è questo: ebbene, l'equazione è troppo difficile e non la sappiamo risolvere. Nessun problema, non spaventiamoci e facciamo uno studio qualitativo: ci è chiesto il comportamento attorno a $x=0$ (quindi studio locale): ciò ci suggerisce... Taylor!
E infatti: conosciamo il valore della funzione in $0$. Conosciamo il valore della derivata prima in 0 (perché? Basta sostituire). E conosciamo anche il valore della derivata seconda di $y$ calcolata in $0$ (se derivi membro a membro l'equazione differenziale, tenendo presente la regola di derivazione delle funzioni composte...)
Ma allora abbiamo tutto ciò che ci serve per scrivere il meraviglioso polinomio di Taylor (al secondo ordine) di $y$ centrato in $x=0$.
Prova un po' se riesci a seguire la strada che ti ho indicato. Se hai problemi, sai dove siamo e non farti scrupoli a postare.
Perdonate la battuta (sciocca). Quello che voglio dirti è questo: ebbene, l'equazione è troppo difficile e non la sappiamo risolvere. Nessun problema, non spaventiamoci e facciamo uno studio qualitativo: ci è chiesto il comportamento attorno a $x=0$ (quindi studio locale): ciò ci suggerisce... Taylor!
E infatti: conosciamo il valore della funzione in $0$. Conosciamo il valore della derivata prima in 0 (perché? Basta sostituire). E conosciamo anche il valore della derivata seconda di $y$ calcolata in $0$ (se derivi membro a membro l'equazione differenziale, tenendo presente la regola di derivazione delle funzioni composte...)
Ma allora abbiamo tutto ciò che ci serve per scrivere il meraviglioso polinomio di Taylor (al secondo ordine) di $y$ centrato in $x=0$.
Prova un po' se riesci a seguire la strada che ti ho indicato. Se hai problemi, sai dove siamo e non farti scrupoli a postare.
Il PdC è:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = x-2-3e^{-y(x)}\\
y(0)=1
\end{cases}
\]
Evidentemente, sono soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza ed unicità, perciò il PdC ha soluzione unica intorno a \(0\).
Inoltre, tale soluzione risulta di classe \(C^\infty\) (infatti, che \(y\) sia di classe \(C^1\) è evidente; il secondo membro della EDO è derivabile e perciò \(y\) è derivabile due volte; derivando m.a.m. la EDO si ottiene \(y^{\prime \prime} (x) = 1+3e^{-y(x)}\ y^\prime (x)\) ed il secondo membro è di classe \(C^1\) e derivabile, perciò \(y\) è di classe \(C^2\) e derivabile tre volte... Procedendo per induzione si ottiene la regolartià richiesta).
Ora, hai:
\[
y^\prime (0) = x-2-3e^{-y(x)}\Big|_{x=0}=-2-\frac{3}{e}\approx -3.1 <0
\]
e, dato che \(y^\prime\) è continua, per permanenza del segno si può determinare un intorno di \(0\) nel quale si abbia identicamente \(y^\prime (x)<0\); perciò la tua soluzione è strettamente decrescente intorno a \(0\).
Derivando l'equazione m.a.m. trovi inoltre:
\[
y^{\prime \prime} (0) = 1+3e^{-y(x)}\ y^{\prime }(x)\Big|_{x=0} = 1+\frac{3}{e} \approx 2.1 >0
\]
e, dato che \(y^{\prime \prime}\) è continua, per permanenza del segno si può sempre determinare un intorno di \(0\) nel quale si abbia identicamente \(y^{\prime \prime }(x)>0\); pertanto la tua soluzione è strettamente convessa intorno a \(0\).
Conseguentemente intorno al punto \((0,1)\) il grafico della tua soluzione assomiglia ad una parabola decrescente e convessa.
P.S.: Anticipato da Paolo!
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = x-2-3e^{-y(x)}\\
y(0)=1
\end{cases}
\]
Evidentemente, sono soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza ed unicità, perciò il PdC ha soluzione unica intorno a \(0\).
Inoltre, tale soluzione risulta di classe \(C^\infty\) (infatti, che \(y\) sia di classe \(C^1\) è evidente; il secondo membro della EDO è derivabile e perciò \(y\) è derivabile due volte; derivando m.a.m. la EDO si ottiene \(y^{\prime \prime} (x) = 1+3e^{-y(x)}\ y^\prime (x)\) ed il secondo membro è di classe \(C^1\) e derivabile, perciò \(y\) è di classe \(C^2\) e derivabile tre volte... Procedendo per induzione si ottiene la regolartià richiesta).
Ora, hai:
\[
y^\prime (0) = x-2-3e^{-y(x)}\Big|_{x=0}=-2-\frac{3}{e}\approx -3.1 <0
\]
e, dato che \(y^\prime\) è continua, per permanenza del segno si può determinare un intorno di \(0\) nel quale si abbia identicamente \(y^\prime (x)<0\); perciò la tua soluzione è strettamente decrescente intorno a \(0\).
Derivando l'equazione m.a.m. trovi inoltre:
\[
y^{\prime \prime} (0) = 1+3e^{-y(x)}\ y^{\prime }(x)\Big|_{x=0} = 1+\frac{3}{e} \approx 2.1 >0
\]
e, dato che \(y^{\prime \prime}\) è continua, per permanenza del segno si può sempre determinare un intorno di \(0\) nel quale si abbia identicamente \(y^{\prime \prime }(x)>0\); pertanto la tua soluzione è strettamente convessa intorno a \(0\).
Conseguentemente intorno al punto \((0,1)\) il grafico della tua soluzione assomiglia ad una parabola decrescente e convessa.
P.S.: Anticipato da Paolo!
@gugo e Paolo:
Decisamente migliore la vostra idea. Mi piacerebbe sapere cosa pensate dell'idea di espandere per $y=1+h$ con $h$ piccolo.
Decisamente migliore la vostra idea. Mi piacerebbe sapere cosa pensate dell'idea di espandere per $y=1+h$ con $h$ piccolo.
Mah... Alla fine ti troveresti con un PdC per \(h=h(x)\), i.e.:
\[
\begin{cases}
h^\prime (x) = x-2-\frac{3}{e}\ e^{-h(x)}\\
h(0)=0
\end{cases}
\]
da studiare come fatto con la EDO originaria.
Quindi non mi sembra che introdurre questa nuova incognita semplifichi il problema.
Sarebbe invece interessante provare a cercare una soluzione analitica del PdC originario col metodo di Frobenius... Ma sono contazzi troppo immondi per esser fatti da essere umano.
\[
\begin{cases}
h^\prime (x) = x-2-\frac{3}{e}\ e^{-h(x)}\\
h(0)=0
\end{cases}
\]
da studiare come fatto con la EDO originaria.
Quindi non mi sembra che introdurre questa nuova incognita semplifichi il problema.
Sarebbe invece interessante provare a cercare una soluzione analitica del PdC originario col metodo di Frobenius... Ma sono contazzi troppo immondi per esser fatti da essere umano.
"Paolo90":
Sempre lì che pensate a integrare le equazioni... mai pensato di derivarle?
Perdonate la battuta (sciocca). Quello che voglio dirti è questo: ebbene, l'equazione è troppo difficile e non la sappiamo risolvere. Nessun problema, non spaventiamoci e facciamo uno studio qualitativo: ci è chiesto il comportamento attorno a $x=0$ (quindi studio locale): ciò ci suggerisce... Taylor!
E infatti: conosciamo il valore della funzione in $0$. Conosciamo il valore della derivata prima in 0 (perché? Basta sostituire). E conosciamo anche il valore della derivata seconda di $y$ calcolata in $0$ (se derivi membro a membro l'equazione differenziale, tenendo presente la regola di derivazione delle funzioni composte...)
Ma allora abbiamo tutto ciò che ci serve per scrivere il meraviglioso polinomio di Taylor (al secondo ordine) di $y$ centrato in $x=0$.
Prova un po' se riesci a seguire la strada che ti ho indicato. Se hai problemi, sai dove siamo e non farti scrupoli a postare.
il risultato pero mi da che è concava e non convessa, nonostante la derivata seconda sia maggiore di 0
posto qui in testo in foemato pdf
è l esercizio numero 2 della prima pagina
http://www.science.unitn.it/~valli/teac ... 7_2011.pdf
Chiaramente c'è un errore nel risultato (quello giusto è "C"), oppure c'è un errore di segno nel testo dell'esercizio.
Insomma, la magagna c'è.
Insomma, la magagna c'è.
"gugo82":
Mah... Alla fine ti troveresti con un PdC per \(h=h(x)\), i.e.:
\[
\begin{cases}
h^\prime (x) = x-2-\frac{3}{e}\ e^{-h(x)}\\
h(0)=0
\end{cases}
\]
da studiare come fatto con la EDO originaria.
Quindi non mi sembra che introdurre questa nuova incognita semplifichi il problema.
La mia idea era quella di spingere oltre il ragionamento e, sempre nell'ipotesi \( h \ll 1\), scrivere
\[e^{-h(x)} \approx 1 - h(x)\]
da cui
\[
\begin{cases}
h^\prime (x) + \frac{3}{e} h(x) = x-2-\frac{3}{e}\\
h(0)=0
\end{cases}
\]
che si integra elementarmente... Sbaglio?
In ogni caso mi rendo conto che il procedimento é molto piú lungo e complicato. Peró non mi sembra scorretto.
"gugo82":
Sarebbe invece interessante provare a cercare una soluzione analitica del PdC originario col metodo di Frobenius... Ma sono contazzi troppo immondi per esser fatti da essere umano.
Sudo freddo anche solo all'idea di impostare il conto....
grazie mille a tutti
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